Направление наибольшего роста функции z = 3/cos(xy) в точке A(π/2, 2/3)

Задание: Укажите направление наибольшего роста функции \( z = \frac{3}{\cos(xy)} \) в точке \( A\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2}{3}\right) \). Решение: 1. Направление наибольшего роста функции совпадает с направлением вектора градиента этой функции в данной точке: \[ \text{grad } z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}; \frac{\partial z}{\partial y} \right) \] 2. Перепишем функцию для удобства дифференцирования: \[ z = 3 \cdot (\cos(xy))^{-1} \] 3. Найдем частную производную по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot (-1) \cdot (\cos(xy))^{-2} \cdot (-\sin(xy)) \cdot y = \frac{3y \sin(xy)}{\cos^2(xy)} \] Вычислим значение в точке \( A\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2}{3}\right) \). Сначала найдем аргумент \( xy \): \[ xy = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\pi}{3} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{\partial z}{\partial x}(A) = \frac{3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}} = 4\sqrt{3} \] 4. Найдем частную производную по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot (-1) \cdot (\cos(xy))^{-2} \cdot (-\sin(xy)) \cdot x = \frac{3x \sin(xy)}{\cos^2(xy)} \] Вычислим значение в точке \( A \): \[ \frac{\partial z}{\partial y}(A) = \frac{3 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{3\pi\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}} = 3\sqrt{3}\pi \] 5. Таким образом, вектор градиента равен: \[ \text{grad } z(A) = (4\sqrt{3}; 3\sqrt{3}\pi) \] Сверяем с вариантами ответа. Полученный результат соответствует первому варианту. Ответ: \( (4\sqrt{3}; 3\sqrt{3}\pi) \)