Решение: Найти наибольшую крутизну подъема поверхности

Задание: Найдите наибольшую крутизну подъема поверхности \( z = 6x^3 - 3x^2y + y^2 - 4y + 5 \) в точке \( (1; 1; 5) \). Решение: 1. Согласно примечанию в задаче, крутизна равна арктангенсу модуля градиента функции в точке. Сначала найдем частные производные функции \( z(x, y) \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 18x^2 - 6xy \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 2y - 4 \] 2. Вычислим значения частных производных в заданной точке \( (1; 1) \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(1, 1) = 18(1)^2 - 6(1)(1) = 18 - 6 = 12 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(1, 1) = -3(1)^2 + 2(1) - 4 = -3 + 2 - 4 = -5 \] 3. Найдем модуль градиента \( |\text{grad } z| \): \[ |\text{grad } z| = \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \] \[ |\text{grad } z| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] 4. Теперь найдем крутизну по определению из условия: \[ \text{Крутизна} = \text{arctg}(|\text{grad } z|) = \text{arctg } 13 \] Сверяем с вариантами ответа. Полученный результат соответствует последнему варианту. Ответ: arctg 13