Направление наибольшего возрастания функции u(x, y, z) в точке M_0(1; 1; -2)

Задание: Найти направление наибольшего возрастания функции \( u(x, y, z) = (x + y)^2 + xyz + \frac{z^2}{2} \) в точке \( M_0(1; 1; -2) \). Решение: 1. Направление наибольшего возрастания функции в точке совпадает с направлением вектора градиента в этой точке: \[ \text{grad } u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} \right) \] 2. Найдем частные производные функции: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2(x + y) \cdot 1 + yz = 2x + 2y + yz \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = 2(x + y) \cdot 1 + xz = 2x + 2y + xz \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = xy + \frac{2z}{2} = xy + z \] 3. Вычислим значения производных в точке \( M_0(1; 1; -2) \): \[ \frac{\partial u}{\partial x}(M_0) = 2(1) + 2(1) + 1 \cdot (-2) = 2 + 2 - 2 = 2 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y}(M_0) = 2(1) + 2(1) + 1 \cdot (-2) = 2 + 2 - 2 = 2 \] \[ \frac{\partial u}{\partial z}(M_0) = 1 \cdot 1 + (-2) = 1 - 2 = -1 \] 4. Таким образом, вектор градиента, указывающий направление наибольшего возрастания, равен: \[ \text{grad } u(M_0) = (2; 2; -1) \] Ответ: (2;2;-1)