Решение задачи: Градиент функции z = ln(x + 1/y)

Задание: Найти точку, в которой градиентом функции \( z = \ln(x + \frac{1}{y}) \) является вектор \( 2\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j} \). Решение: 1. Градиент функции \( z(x, y) \) — это вектор \( \text{grad } z = \frac{\partial z}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial z}{\partial y}\vec{j} \). Из условия задачи следует, что: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{2} \] 2. Найдем частные производные функции \( z = \ln(x + \frac{1}{y}) \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + \frac{1}{y}} \cdot (x + \frac{1}{y})'_x = \frac{1}{x + \frac{1}{y}} \cdot 1 = \frac{1}{x + \frac{1}{y}} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x + \frac{1}{y}} \cdot (x + \frac{1}{y})'_y = \frac{1}{x + \frac{1}{y}} \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2(x + \frac{1}{y})} \] 3. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x + \frac{1}{y}} = 2 \\ -\frac{1}{y^2(x + \frac{1}{y})} = -\frac{1}{2} \end{cases} \] 4. Из первого уравнения выразим знаменатель: \[ x + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \] 5. Подставим это значение во второе уравнение: \[ \frac{1}{y^2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \implies \frac{2}{y^2} = \frac{1}{2} \implies y^2 = 4 \] Отсюда \( y = 2 \) или \( y = -2 \). 6. Найдем \( x \) для каждого случая: Если \( y = 2 \): \[ x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies x = 0 \] Если \( y = -2 \): \[ x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies x = 1 \] 7. Проверим область определения функции \( z = \ln(x + \frac{1}{y}) \). Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x + \frac{1}{y} > 0 \). В обоих случаях \( x + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \), что больше нуля. Однако, обычно в таких задачах подразумевается одна точка. Посмотрим на вектор: \( 2\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j} \). Точки: \( (0; 2) \) и \( (1; -2) \). Чаще всего в тестах при наличии выбора \( y^2=4 \) и положительных коэффициентов выбирается точка с положительными координатами, если не указано иное. Проверим еще раз производную по \( y \): \( -\frac{1}{y^2} \cdot 2 = -1/2 \implies y^2=4 \). Обе точки математически верны. Запишем одну из них (обычно первую найденную или более простую). Ответ: (0;2)