Решение задачи 1.13: Определение давления в вращающемся сосуде

Задача №1.13 Дано: \(D = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}\) \(H = 135 \text{ см} = 1,35 \text{ м}\) \(n = 145 \text{ мин}^{-1}\) \(z = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}\) \(r_1 = 0 \text{ м}\) \(r_2 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}\) \(r_3 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) \(r_4 = r_0 = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}\) \(\rho = 1000 \text{ кг/м}^3\) (плотность воды) \(P_{атм} = 101325 \text{ Па}\) Найти: \(P_a, P_b, P_c, P_d\) Решение: 1. Определим угловую скорость вращения сосуда: \[\omega = \frac{\pi \cdot n}{30} = \frac{3,14 \cdot 145}{30} \approx 15,18 \text{ рад/с}\] 2. При вращении свободная поверхность жидкости принимает форму параболоида вращения. Уравнение свободной поверхности относительно низшей точки (вершины параболоида) имеет вид: \[y = \frac{\omega^2 \cdot r^2}{2g}\] Где \(g \approx 9,81 \text{ м/с}^2\). 3. Объем параболоида равен половине объема описанного цилиндра. Из условия сохранения объема жидкости, уровень покоя \(H\) находится посередине между максимальным и минимальным уровнями при вращении. Высота параболоида \(h\) при \(r = r_0\): \[h = \frac{\omega^2 \cdot r_0^2}{2g} = \frac{15,18^2 \cdot 0,3^2}{2 \cdot 9,81} \approx \frac{230,43 \cdot 0,09}{19,62} \approx 1,057 \text{ м}\] 4. Координата \(z_{min}\) (дно параболоида от дна сосуда): \[z_{min} = H - \frac{h}{2} = 1,35 - \frac{1,057}{2} = 1,35 - 0,5285 = 0,8215 \text{ м}\] 5. Полное гидростатическое давление в любой точке вращающейся жидкости определяется по формуле: \[P = P_{атм} + \rho \cdot g \cdot (z_{min} + \frac{\omega^2 \cdot r^2}{2g} - z)\] Упростим формулу: \[P = P_{атм} + \rho \cdot g \cdot z_{min} + \frac{\rho \cdot \omega^2 \cdot r^2}{2} - \rho \cdot g \cdot z\] Вычислим постоянную часть для всех точек: \[P_{const} = P_{атм} + \rho \cdot g \cdot (z_{min} - z)\] \[P_{const} = 101325 + 1000 \cdot 9,81 \cdot (0,8215 - 0,45) = 101325 + 9810 \cdot 0,3715 \approx 101325 + 3644 = 104969 \text{ Па}\] 6. Рассчитаем давление в точках: Для точки \(a\) (\(r_1 = 0\)): \[P_a = P_{const} + 0 = 104969 \text{ Па} \approx 105 \text{ кПа}\] Для точки \(b\) (\(r_2 = 0,1 \text{ м}\)): \[P_b = 104969 + \frac{1000 \cdot 15,18^2 \cdot 0,1^2}{2} = 104969 + \frac{1000 \cdot 230,43 \cdot 0,01}{2} = 104969 + 1152 = 106121 \text{ Па} \approx 106,1 \text{ кПа}\] Для точки \(c\) (\(r_3 = 0,2 \text{ м}\)): \[P_c = 104969 + \frac{1000 \cdot 15,18^2 \cdot 0,2^2}{2} = 104969 + \frac{1000 \cdot 230,43 \cdot 0,04}{2} = 104969 + 4609 = 109578 \text{ Па} \approx 109,6 \text{ кПа}\] Для точки \(d\) (\(r_4 = 0,3 \text{ м}\)): \[P_d = 104969 + \frac{1000 \cdot 15,18^2 \cdot 0,3^2}{2} = 104969 + \frac{1000 \cdot 230,43 \cdot 0,09}{2} = 104969 + 10369 = 115338 \text{ Па} \approx 115,3 \text{ кПа}\] Ответ: \(P_a \approx 105 \text{ кПа}\), \(P_b \approx 106,1 \text{ кПа}\), \(P_c \approx 109,6 \text{ кПа}\), \(P_d \approx 115,3 \text{ кПа}\).