Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;2;0)

Задача: Найти уравнение касательной плоскости к поверхности \( 5x^2yz - xy^2 + z = -4 \) в точке \( M(1; 2; 0) \). Решение: 1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить функцию вида \( F(x, y, z) = 0 \): \[ F(x, y, z) = 5x^2yz - xy^2 + z + 4 = 0 \] 2. Уравнение касательной плоскости в точке \( M(x_0; y_0; z_0) \) имеет вид: \[ F'_x(M) \cdot (x - x_0) + F'_y(M) \cdot (y - y_0) + F'_z(M) \cdot (z - z_0) = 0 \] 3. Найдем частные производные функции \( F(x, y, z) \): \[ F'_x = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2yz - xy^2 + z + 4) = 10xyz - y^2 \] \[ F'_y = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2yz - xy^2 + z + 4) = 5x^2z - 2xy \] \[ F'_z = \frac{\partial}{\partial z}(5x^2yz - xy^2 + z + 4) = 5x^2y + 1 \] 4. Вычислим значения производных в точке \( M(1; 2; 0) \): \[ F'_x(1; 2; 0) = 10 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 0 - 2^2 = 0 - 4 = -4 \] \[ F'_y(1; 2; 0) = 5 \cdot 1^2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 2 = 0 - 4 = -4 \] \[ F'_z(1; 2; 0) = 5 \cdot 1^2 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11 \] 5. Подставим полученные значения и координаты точки \( M \) в уравнение плоскости: \[ -4 \cdot (x - 1) + (-4) \cdot (y - 2) + 11 \cdot (z - 0) = 0 \] \[ -4x + 4 - 4y + 8 + 11z = 0 \] \[ -4x - 4y + 11z + 12 = 0 \] 6. Проверим варианты ответов. В списке предложенных вариантов есть похожий, но с другим свободным коэффициентом. Давайте перепроверим вычисления. Заметим, что если умножить все уравнение на \(-1\), получим: \[ 4x + 4y - 11z - 12 = 0 \] Этот вариант соответствует третьему пункту в списке ответов. Ответ: \( 4x + 4y - 11z - 12 = 0 \)