Решение задачи: Уравнение касательной плоскости по градиенту

Для решения этой задачи воспользуемся определением градиента и уравнением касательной плоскости для функции вида \( z = z(x, y) \). 1. По условию нам даны: Точка касания: \( M(1; 3; 4) \), то есть \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 3 \), \( z_0 = 4 \). Градиент функции в этой точке: \( \text{grad } z(M) = (-2; 3) \). 2. Вспомним, что компоненты градиента — это частные производные функции по соответствующим переменным: \[ z'_x(M) = -2 \] \[ z'_y(M) = 3 \] 3. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в явном виде \( z = z(x, y) \), записывается так: \[ z - z_0 = z'_x(M) \cdot (x - x_0) + z'_y(M) \cdot (y - y_0) \] 4. Подставим известные значения в формулу: \[ z - 4 = -2 \cdot (x - 1) + 3 \cdot (y - 3) \] 5. Раскроем скобки: \[ z - 4 = -2x + 2 + 3y - 9 \] \[ z - 4 = -2x + 3y - 7 \] 6. Приведем уравнение к требуемому виду \( Ax + By + Cz = D \). Перенесем слагаемые с переменными влево, а свободные числа вправо: \[ 2x - 3y + z = -7 + 4 \] \[ 2x - 3y + z = -3 \] Ответ для ввода в поле: 2x-3y+z=-3