Решение задачи: Каноническое уравнение нормали к поверхности

Для решения задачи найдем канонические уравнения нормали к поверхности, заданной неявно. 1. Запишем функцию в виде \( F(x, y, z) = 0 \): \[ F(x, y, z) = \ln(xy) + 2xyz - y^2 \ln x + 2 = 0 \] Учтем, что \( \ln(xy) = \ln x + \ln y \). Тогда: \[ F(x, y, z) = \ln x + \ln y + 2xyz - y^2 \ln x + 2 = 0 \] 2. Канонические уравнения нормали в точке \( M(x_0; y_0; z_0) \) имеют вид: \[ \frac{x - x_0}{F'_x(M)} = \frac{y - y_0}{F'_y(M)} = \frac{z - z_0}{F'_z(M)} \] 3. Найдем частные производные в точке \( M(1; 1; -1) \): \[ F'_x = \frac{1}{x} + 2yz - \frac{y^2}{x} \] \[ F'_x(1; 1; -1) = \frac{1}{1} + 2(1)(-1) - \frac{1^2}{1} = 1 - 2 - 1 = -2 \] \[ F'_y = \frac{1}{y} + 2xz - 2y \ln x \] \[ F'_y(1; 1; -1) = \frac{1}{1} + 2(1)(-1) - 2(1) \ln 1 = 1 - 2 - 0 = -1 \] \[ F'_z = 2xy \] \[ F'_z(1; 1; -1) = 2(1)(1) = 2 \] 4. Подставим координаты точки \( M(1; 1; -1) \) и значения производных в уравнение нормали: \[ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - (-1)}{2} \] \[ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} \] 5. Сравним с вариантами ответа. Если умножить все знаменатели на \(-1\), уравнение не изменится: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-2} \] Этот результат соответствует второму варианту в списке. Ответ: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{-2} \]