Решение:

Для решения задачи найдем частные производные первого, а затем второго порядка функции: \[ z = 4xy + \frac{4x}{y^2} + 3\frac{y}{\sqrt{x}} \] 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{\partial}{\partial x} (4xy + 4xy^{-2} + 3yx^{-1/2}) = 4y + 4y^{-2} - \frac{3}{2}yx^{-3/2} = 4y + \frac{4}{y^2} - \frac{3y}{2x\sqrt{x}} \] \[ z'_y = \frac{\partial}{\partial y} (4xy + 4xy^{-2} + 3yx^{-1/2}) = 4x - 8xy^{-3} + 3x^{-1/2} = 4x - \frac{8x}{y^3} + \frac{3}{\sqrt{x}} \] 2. Найдем вторые частные производные: а) Вторая производная по \( x \) (\( z''_{xx} \)): \[ z''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (4y + 4y^{-2} - \frac{3}{2}yx^{-3/2}) = 0 + 0 - \frac{3}{2}y \cdot (-\frac{3}{2})x^{-5/2} = \frac{9y}{4x^2\sqrt{x}} \] б) Вторая производная по \( y \) (\( z''_{yy} \)): \[ z''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (4x - 8xy^{-3} + 3x^{-1/2}) = 0 - 8x \cdot (-3)y^{-4} + 0 = \frac{24x}{y^4} \] в) Смешанная производная (\( z''_{xy} \)): \[ z''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (z'_x) = \frac{\partial}{\partial y} (4y + 4y^{-2} - \frac{3}{2}yx^{-3/2}) = 4 - 8y^{-3} - \frac{3}{2}x^{-3/2} = 4 - \frac{8}{y^3} - \frac{3}{2x\sqrt{x}} \] Сопоставим полученные результаты с вариантами в таблице: 1. Вторая производная по \( y \): \[ \frac{24x}{y^4} \] 2. Вторая производная по \( x \): \[ \frac{9y}{4x^2\sqrt{x}} \] 3. Смешанная производная: \[ 4 - \frac{3}{2x\sqrt{x}} - \frac{8}{y^3} \]