Решение: Смешанная частная производная (√x - √y)^4 в точке M(4;1)

Для решения задачи найдем смешанную частную производную второго порядка функции \( z = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^4 \) в точке \( M(4; 1) \). 1. Сначала найдем частную производную первого порядка по \( x \). Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ z'_x = \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^4 = 4(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \] Так как \( (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), получаем: \[ z'_x = 4(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3}{\sqrt{x}} \] 2. Теперь найдем смешанную производную второго порядка, продифференцировав полученное выражение по \( y \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2(\sqrt{x} - \sqrt{y})^3}{\sqrt{x}} \right) \] Поскольку \( \sqrt{x} \) в знаменателе является константой относительно \( y \), вынесем ее: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^3 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot 3(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{y}} \right) \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{3(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}} \] 3. Подставим координаты точки \( M(4; 1) \), где \( x = 4 \), \( y = 1 \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \sqrt{y} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(M) = -\frac{3(2 - 1)^2}{2 \cdot 1} = -\frac{3 \cdot 1^2}{2} = -\frac{3}{2} \] Ответ: \[ -\frac{3}{2} \]