Решение задачи: Частные производные функции z(x, y)

Для решения задачи необходимо последовательно найти частные производные функции \( z(x, y) = \cos(2x - 3y) + \sin(3x - 2y) \) до третьего порядка. 1. Найдем первую частную производную по \( x \): \[ z'_x = -\sin(2x - 3y) \cdot 2 + \cos(3x - 2y) \cdot 3 = -2\sin(2x - 3y) + 3\cos(3x - 2y) \] 2. Найдем вторую частную производную по \( x \) (дифференцируем \( z'_x \) еще раз по \( x \)): \[ z''_{xx} = -2\cos(2x - 3y) \cdot 2 - 3\sin(3x - 2y) \cdot 3 = -4\cos(2x - 3y) - 9\sin(3x - 2y) \] 3. Найдем смешанную производную третьего порядка (дифференцируем \( z''_{xx} \) по \( y \)): \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = -4(-\sin(2x - 3y)) \cdot (-3) - 9\cos(3x - 2y) \cdot (-2) \] \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = -12\sin(2x - 3y) + 18\cos(3x - 2y) \] 4. Подставим координаты точки \( (\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}) \): Вычислим аргументы функций: \[ 2x - 3y = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi - 9\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \] \[ 3x - 2y = 3 \cdot \frac{\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi - \pi = 0 \] Вычислим значения тригонометрических функций: \[ \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] \[ \cos(0) = 1 \] 5. Итоговое значение: \[ \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = -12 \cdot (-\frac{1}{2}) + 18 \cdot 1 = 6 + 18 = 24 \] Ответ: 24