Решение: Дифференциал второго порядка функции z = ln(x^2 + y^2) в точке (1; 0)

Для решения задачи найдем дифференциал второго порядка функции \( z = \ln(x^2 + y^2) \) в точке \( (1; 0) \). 1. Формула дифференциала второго порядка: \[ d^2z = z''_{xx} dx^2 + 2z''_{xy} dxdy + z''_{yy} dy^2 \] 2. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = \frac{2x}{x^2 + y^2} \] \[ z'_y = \frac{2y}{x^2 + y^2} \] 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ z''_{xx} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} \] \[ z''_{yy} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \] \[ z''_{xy} = \frac{0 \cdot (x^2 + y^2) - 2x(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-4xy}{(x^2 + y^2)^2} \] 4. Вычислим значения производных в точке \( (1; 0) \): \[ z''_{xx}(1; 0) = \frac{2(0)^2 - 2(1)^2}{(1^2 + 0^2)^2} = \frac{-2}{1} = -2 \] \[ z''_{yy}(1; 0) = \frac{2(1)^2 - 2(0)^2}{(1^2 + 0^2)^2} = \frac{2}{1} = 2 \] \[ z''_{xy}(1; 0) = \frac{-4(1)(0)}{(1^2 + 0^2)^2} = 0 \] 5. Подставим значения в формулу дифференциала: \[ d^2z = -2dx^2 + 2 \cdot 0 \cdot dxdy + 2dy^2 = -2dx^2 + 2dy^2 \] Согласно требованию системы (английские буквы, без пробелов, использование ^), ответ записывается так: -2dx^2+2dy^2