Решение задачи: Дифференциал третьего порядка функции

Для решения задачи найдем дифференциал третьего порядка функции \( z = x^4 + 3y^3 - x^2y - x^2 + 2y + 2 \) в точке \( (-1; 1) \). 1. Общая формула дифференциала третьего порядка для функции двух переменных: \[ d^3z = z'''_{xxx} dx^3 + 3z'''_{xxy} dx^2dy + 3z'''_{xyy} dxdy^2 + z'''_{yyy} dy^3 \] 2. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = 4x^3 - 2xy - 2x \] \[ z'_y = 9y^2 - x^2 + 2 \] 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ z''_{xx} = 12x^2 - 2y - 2 \] \[ z''_{xy} = -2x \] \[ z''_{yy} = 18y \] 4. Найдем частные производные третьего порядка: \[ z'''_{xxx} = \frac{\partial}{\partial x}(12x^2 - 2y - 2) = 24x \] \[ z'''_{xxy} = \frac{\partial}{\partial y}(12x^2 - 2y - 2) = -2 \] \[ z'''_{xyy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x) = 0 \] \[ z'''_{yyy} = \frac{\partial}{\partial y}(18y) = 18 \] 5. Вычислим значения производных в точке \( (-1; 1) \): \[ z'''_{xxx}(-1; 1) = 24 \cdot (-1) = -24 \] \[ z'''_{xxy}(-1; 1) = -2 \] \[ z'''_{xyy}(-1; 1) = 0 \] \[ z'''_{yyy}(-1; 1) = 18 \] 6. Подставим значения в формулу дифференциала: \[ d^3z = -24dx^3 + 3 \cdot (-2)dx^2dy + 3 \cdot 0dxdy^2 + 18dy^3 \] \[ d^3z = -24dx^3 - 6dx^2dy + 18dy^3 \] Согласно правилам ввода (английские буквы, без пробелов, степень через ^): -24dx^3-6dx^2dy+18dy^3