Решение: Найти стационарные точки функции z = x³ + y³ - 3xy

Для нахождения стационарных точек функции \( z = x^3 + y^3 - 3xy \) необходимо приравнять к нулю её частные производные первого порядка. 1. Найдем частные производные: \[ z'_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3x^2 - 3y \] \[ z'_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3y^2 - 3x \] 2. Составим и решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases} \] Разделим оба уравнения на 3: \[ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ y^2 - x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 \\ (x^2)^2 - x = 0 \end{cases} \] 3. Решим уравнение для \( x \): \[ x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \] Отсюда получаем два корня: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 1 \] 4. Найдем соответствующие значения \( y \), используя \( y = x^2 \): Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = 0^2 = 0 \). Точка \( (0; 0) \). Если \( x_2 = 1 \), то \( y_2 = 1^2 = 1 \). Точка \( (1; 1) \). Таким образом, стационарными точками являются \( (0; 0) \) и \( (1; 1) \). Правильные варианты ответа: (0; 0) (1; 1)