Решение задачи: Экстремум функции z = x³ + y³ - 3xy

Для определения характера стационарных точек функции \( z = x^3 + y^3 - 3xy \), воспользуемся достаточным условием экстремума. 1. Найдем вторые частные производные: \[ z''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 3y) = 6x \] \[ z''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2 - 3x) = 6y \] \[ z''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 3y) = -3 \] 2. Составим определитель (гессиан) \( \Delta = z''_{xx} \cdot z''_{yy} - (z''_{xy})^2 \): \[ \Delta = (6x) \cdot (6y) - (-3)^2 = 36xy - 9 \] 3. Проверим точку \( (0; 0) \): \[ \Delta(0; 0) = 36 \cdot 0 \cdot 0 - 9 = -9 \] Так как \( \Delta < 0 \), то в точке \( (0; 0) \) экстремума нет (это седловая точка). 4. Проверим точку \( (1; 1) \): \[ \Delta(1; 1) = 36 \cdot 1 \cdot 1 - 9 = 27 \] Так как \( \Delta > 0 \), экстремум существует. Теперь смотрим на знак \( z''_{xx} \): \[ z''_{xx}(1; 1) = 6 \cdot 1 = 6 \] Так как \( z''_{xx} > 0 \), то точка \( (1; 1) \) является точкой локального минимума. Соответствие для задания: (1; 1) — точка локального минимума (0; 0) — экстремума нет