Решение задачи на нахождение локального экстремума функции двух переменных

Решение задачи на нахождение локального экстремума функции двух переменных. Дана функция: \[ z = xy - (x + 1)^2 - (y - 1)^2 - 2x - 3y \] 1. Сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки: \[ z = xy - (x^2 + 2x + 1) - (y^2 - 2y + 1) - 2x - 3y \] \[ z = xy - x^2 - 2x - 1 - y^2 + 2y - 1 - 2x - 3y \] \[ z = -x^2 - y^2 + xy - 4x - y - 2 \] 2. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = -2x + y - 4 \] \[ z'_y = -2y + x - 1 \] 3. Для нахождения критических точек приравняем производные к нулю и решим систему уравнений: \[ \begin{cases} -2x + y - 4 = 0 \\ x - 2y - 1 = 0 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \( x \): \[ x = 2y + 1 \] Подставим в первое уравнение: \[ -2(2y + 1) + y - 4 = 0 \] \[ -4y - 2 + y - 4 = 0 \] \[ -3y = 6 \implies y = -2 \] Найдем \( x \): \[ x = 2(-2) + 1 = -3 \] Получена критическая точка \( M(-3; -2) \). 4. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = -2 \] \[ B = z''_{xy} = 1 \] \[ C = z''_{yy} = -2 \] 5. Проверим достаточные условия экстремума с помощью определителя (дискриминанта) \( \Delta \): \[ \Delta = AC - B^2 \] \[ \Delta = (-2) \cdot (-2) - 1^2 = 4 - 1 = 3 \] Так как \( \Delta > 0 \), то в точке \( M \) есть экстремум. Так как \( A < 0 \), то точка \( M(-3; -2) \) является точкой локального максимума. 6. Вычислим значение функции в этой точке: \[ z_{max} = z(-3; -2) = -(-3)^2 - (-2)^2 + (-3)(-2) - 4(-3) - (-2) - 2 \] \[ z_{max} = -9 - 4 + 6 + 12 + 2 - 2 \] \[ z_{max} = 5 \] Ответ: \( z_{max} = 5 \).