Решение задачи на экстремум функции z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 5

Решение задачи на исследование функции на экстремум. Дана функция: \[ z = x^3 + 8y^3 - 6xy + 5 \] 1. Найдем частные производные первого порядка: \[ z'_x = 3x^2 - 6y \] \[ z'_y = 24y^2 - 6x \] 2. Найдем критические точки, решив систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x^2 - 6y = 0 \\ 24y^2 - 6x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{x^2}{2} \\ 4y^2 - x = 0 \end{cases} \] Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 4 \left( \frac{x^2}{2} \right)^2 - x = 0 \] \[ 4 \cdot \frac{x^4}{4} - x = 0 \] \[ x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \] Получаем два значения \( x \): \( x_1 = 0 \), тогда \( y_1 = 0 \). Точка \( M_1(0; 0) \). \( x_2 = 1 \), тогда \( y_2 = \frac{1^2}{2} = 0.5 \). Точка \( M_2(1; 0.5) \). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = 6x \] \[ B = z''_{xy} = -6 \] \[ C = z''_{yy} = 48y \] 4. Проверим точки с помощью определителя \( \Delta = AC - B^2 \): Для точки \( M_1(0; 0) \): \( A = 0, B = -6, C = 0 \). \[ \Delta = 0 \cdot 0 - (-6)^2 = -36 \] Так как \( \Delta < 0 \), в точке \( M_1 \) экстремума нет (седловая точка). Для точки \( M_2(1; 0.5) \): \( A = 6 \cdot 1 = 6 \) \( B = -6 \) \( C = 48 \cdot 0.5 = 24 \) \[ \Delta = 6 \cdot 24 - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 \] Так как \( \Delta > 0 \), в точке \( M_2 \) есть экстремум. Так как \( A > 0 \), это точка локального минимума. 5. Вычислим значение функции в точке минимума: \[ z(1; 0.5) = 1^3 + 8(0.5)^3 - 6(1)(0.5) + 5 \] \[ z = 1 + 8 \cdot 0.125 - 3 + 5 \] \[ z = 1 + 1 - 3 + 5 = 4 \] Согласно требованию формата ответа (без пробелов): min(z)=4