Решение задачи на анализ функции по формуле Тейлора

Решение задачи на анализ функции по формуле Тейлора. Дана формула Тейлора функции \( f(x, y) \) в окрестности точки \( (x_0, y_0) \): \[ f(x, y) = 1 + 3dx^2 + dxdy - \frac{1}{3}dy^2 + 2dx^3 - dy^3 + o(\rho^3) \] 1. Проверим необходимое условие экстремума. В формуле Тейлора слагаемые первой степени по \( dx \) и \( dy \) (дифференциал первого порядка \( df \)) отсутствуют. Это означает, что: \[ f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0 \] Следовательно, необходимое условие экстремума выполнено, и точка \( (x_0, y_0) \) является критической. 2. Проверим достаточное условие экстремума с помощью второго дифференциала \( d^2f \). Из формулы Тейлора дифференциал второго порядка равен: \[ d^2f = 2! \cdot (3dx^2 + dxdy - \frac{1}{3}dy^2) = 6dx^2 + 2dxdy - \frac{2}{3}dy^2 \] Коэффициенты квадратичной формы: \[ A = f''_{xx} = 6 \] \[ B = f''_{xy} = 1 \] \[ C = f''_{yy} = -\frac{2}{3} \] 3. Вычислим определитель \( \Delta \): \[ \Delta = AC - B^2 \] \[ \Delta = 6 \cdot (-\frac{2}{3}) - 1^2 = -4 - 1 = -5 \] 4. Анализ результата: Так как \( \Delta < 0 \), квадратичная форма является знаконеопределенной. Это означает, что в данной критической точке экстремума нет (это седловая точка). Вывод: Необходимое условие выполнено (первые производные равны нулю), но достаточное условие показывает отсутствие экстремума. Правильный вариант ответа: Выполнено необходимое условие экстремума, но экстремума нет.