Решение задачи на условный экстремум: z = 8y + x - 3, x = 4 + 2y^2

Решение задачи на нахождение точки условного экстремума. Дана функция: \[ z = 8y + x - 3 \] При условии связи: \[ x = 4 + 2y^2 \] 1. Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для \( x \) из условия связи непосредственно в функцию \( z \). Таким образом, мы перейдем к функции одной переменной \( y \): \[ z(y) = 8y + (4 + 2y^2) - 3 \] \[ z(y) = 2y^2 + 8y + 1 \] 2. Найдем критические точки полученной функции одной переменной. Для этого вычислим производную и приравняем ее к нулю: \[ z'(y) = 4y + 8 \] \[ 4y + 8 = 0 \implies 4y = -8 \implies y = -2 \] 3. Найдем соответствующее значение \( x \), подставив \( y = -2 \) в уравнение связи: \[ x = 4 + 2(-2)^2 = 4 + 2 \cdot 4 = 4 + 8 = 12 \] Получена точка \( M(12; -2) \). 4. Определим характер экстремума. Для этого найдем вторую производную функции \( z(y) \): \[ z''(y) = 4 \] Так как \( z''(y) > 0 \), то в найденной точке функция имеет локальный минимум. 5. Таким образом, точка \( M(12; -2) \) является точкой условного минимума. Правильный вариант ответа: \( M(12; -2) \) — точка минимума