Решение задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Решение задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Дана функция: \[ z = (x + y)^2 + 4(x + y) + 2 \] Условие (отрезок прямой): \[ y = -2x, \quad x \in [-2; 4] \] 1. Подставим уравнение прямой \( y = -2x \) в выражение функции \( z \), чтобы свести задачу к исследованию функции одной переменной \( x \): \[ z(x) = (x - 2x)^2 + 4(x - 2x) + 2 \] \[ z(x) = (-x)^2 + 4(-x) + 2 \] \[ z(x) = x^2 - 4x + 2 \] 2. Найдем критические точки функции \( z(x) \) на интервале \( (-2; 4) \): \[ z'(x) = 2x - 4 \] Приравняем производную к нулю: \[ 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] Точка \( x = 2 \) принадлежит рассматриваемому отрезку \( [-2; 4] \). 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: В точке \( x = 2 \): \[ z(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \] На левом конце отрезка (\( x = -2 \)): \[ z(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \] На правом конце отрезка (\( x = 4 \)): \[ z(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 = 16 - 16 + 2 = 2 \] 4. Сравним полученные значения: Наименьшее значение: \( z_{min} = -2 \) Наибольшее значение: \( z_{max} = 14 \) Правильные варианты ответа: \( z_{max} = 14 \) \( z_{min} = -2 \)