Решение задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в области

Решение задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в области. Дана функция: \[ z = 8x^2 - 12y^2 + 2 \] Область представляет собой сегмент круга \( x^2 + y^2 \le 1 \), ограниченный снизу прямой \( y = 0.5 \). 1. Исследуем критические точки внутри области: \[ z'_x = 16x, \quad z'_y = -24y \] Система \( 16x = 0, -24y = 0 \) дает точку \( (0; 0) \). Однако эта точка не принадлежит области, так как в области \( y \ge 0.5 \). 2. Исследуем границу \( y = 0.5 \). Подставим в функцию (как дано в подсказке на фото): \[ z|_{y=0.5} = 8x^2 - 12(0.5)^2 + 2 = 8x^2 - 3 + 2 = 8x^2 - 1 \] На этой прямой \( x \) меняется от \( -\sqrt{1 - 0.5^2} \) до \( \sqrt{1 - 0.5^2} \). Минимум этой функции при \( x = 0 \): \[ z(0; 0.5) = 8(0)^2 - 1 = -1 \] Максимум на концах отрезка (где \( x^2 = 0.75 \)): \[ z = 8(0.75) - 1 = 6 - 1 = 5 \] 3. Исследуем границу дуги окружности \( y^2 = 1 - x^2 \). Подставим в функцию (как дано в подсказке): \[ z|_{y^2=1-x^2} = 8x^2 - 12(1 - x^2) + 2 = 8x^2 - 12 + 12x^2 + 2 = 20x^2 - 10 \] На дуге \( x^2 \) меняется от \( 0 \) (верхняя точка \( (0; 1) \)) до \( 0.75 \) (точки пересечения с прямой). При \( x = 0 \) (точка \( (0; 1) \)): \[ z(0; 1) = 20(0) - 10 = -10 \] При \( x^2 = 0.75 \): \[ z = 20(0.75) - 10 = 15 - 10 = 5 \] 4. Сравним все найденные значения: \( -1, 5, -10 \). Наибольшее значение: \( z_{max} = 5 \) Наименьшее значение: \( z_{min} = -10 \) Правильные варианты ответа: \( z_{max} = 5 \) \( z_{min} = -10 \)