Задача №2: Кинетическая энергия обруча и диска

Задача №2 Дано: \(m_1 = m_2 = m\) (массы обруча и диска равны) \(v_1 = v_2 = v\) (линейные скорости равны) \(E_{к1} = 40\) Дж (кинетическая энергия обруча) Найти: \(E_{к2}\) — ? (кинетическая энергия диска) Решение: 1. Кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения, складывается из энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения: \[E_к = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{I \cdot \omega^2}{2}\] Так как качение происходит без скольжения, угловая скорость связана с линейной: \(\omega = \frac{v}{R}\). 2. Для обруча (тонкого кольца) момент инерции \(I_1 = m \cdot R^2\): \[E_{к1} = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{(m \cdot R^2) \cdot (\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot v^2\] По условию \(m \cdot v^2 = 40\) Дж. 3. Для диска (сплошного цилиндра) момент инерции \(I_2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot R^2\): \[E_{к2} = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{(\frac{1}{2} \cdot m \cdot R^2) \cdot (\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{m \cdot v^2}{4} = \frac{3}{4} \cdot m \cdot v^2\] 4. Подставим значение \(m \cdot v^2\) из уравнения для обруча: \[E_{к2} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30 \text{ Дж}\] Ответ: \(E_{к2} = 30\) Дж. Задача №3 Дано: \(m = 800\) г \(= 0,8\) кг \(T = 290\) К \(p_1 = 0,66\) МПа \(\frac{p_2}{p_1} = 1,6\) \(A_{вн} = 500\) Дж (работа внешних сил) \(R = 8,31\) Дж/(моль\(\cdot\)К) Найти: \(M\) — ? Решение: 1. Работа внешних сил при изотермическом сжатии газа (\(T = const\)) определяется формулой: \[A_{вн} = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\] Здесь мы используем отношение давлений, так как по закону Бойля-Мариотта \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}\). 2. Из этой формулы выразим молярную массу \(M\): \[M = \frac{m \cdot R \cdot T \cdot \ln(\frac{p_2}{p_1})}{A_{вн}}\] 3. Подставим числовые значения: \(m = 0,8\) кг \(R = 8,31\) \(T = 290\) \(\ln(1,6) \approx 0,47\) \(A_{вн} = 500\) \[M = \frac{0,8 \cdot 8,31 \cdot 290 \cdot 0,47}{500} \approx \frac{906,12}{500} \approx 1,812 \text{ кг/моль}\] Примечание: Полученное значение молярной массы очень велико для обычных газов. Вероятно, в условии опечатка в единицах измерения работы (например, должно быть кДж) или массы, однако расчет выполнен строго по заданным числам. Если работа \(A = 500\) кДж, то \(M \approx 0,0018\) кг/моль (что близко к водороду). Ответ: \(M \approx 1,812\) кг/моль.