Решение Дифференциального Уравнения y' = x + y

Задание: Решить дифференциальное уравнение \( y' = x + y \). Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Перепишем его в стандартном виде: \[ y' - y = x \] Для решения воспользуемся методом Бернулли, представив функцию \( y \) в виде произведения двух функций: \( y = u \cdot v \). Тогда производная будет равна: \[ y' = u'v + uv' \] Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[ u'v + uv' - uv = x \] \[ u'v + u(v' - v) = x \] Найдем функцию \( v \) из условия \( v' - v = 0 \): \[ \frac{dv}{dx} = v \] \[ \frac{dv}{v} = dx \] Интегрируем обе части: \[ \ln|v| = x \] \[ v = e^x \] Теперь подставим полученное \( v \) в оставшуюся часть уравнения: \[ u' \cdot e^x = x \] \[ \frac{du}{dx} = x \cdot e^{-x} \] \[ du = x \cdot e^{-x} dx \] Интегрируем методом по частям, где \( \int w \, dz = wz - \int z \, dw \). Пусть \( w = x \), тогда \( dw = dx \). Пусть \( dz = e^{-x} dx \), тогда \( z = -e^{-x} \). \[ u = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx \] \[ u = -x e^{-x} - e^{-x} + C \] Найдем общее решение \( y = u \cdot v \): \[ y = (-x e^{-x} - e^{-x} + C) \cdot e^x \] \[ y = -x - 1 + C e^x \] Ответ: \( y = C e^x - x - 1 \)