Решение дифференциального уравнения 2ye^(2x)dx + (e^(2x) + 1)dy = 0

Задача №3. Найти решение дифференциального уравнения: \[ 2ye^{2x}dx + (e^{2x} + 1)dy = 0 \] Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, перенеся одно слагаемое в правую часть: \[ (e^{2x} + 1)dy = -2ye^{2x}dx \] Разделим обе части уравнения на \( y(e^{2x} + 1) \), предполагая, что \( y \neq 0 \): \[ \frac{dy}{y} = -\frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}dx \] Теперь проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}dx \] Левый интеграл табличный: \[ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| \] Для вычисления правого интеграла воспользуемся методом подстановки. Заметим, что числитель является производной знаменателя: \( (e^{2x} + 1)' = 2e^{2x} \). Тогда: \[ \int \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}dx = \int \frac{d(e^{2x} + 1)}{e^{2x} + 1} = \ln(e^{2x} + 1) \] (Так как \( e^{2x} + 1 > 0 \), знак модуля можно опустить). Подставим результаты интегрирования в уравнение: \[ \ln|y| = -\ln(e^{2x} + 1) + \ln|C| \] где \( \ln|C| \) — произвольная постоянная. Используя свойства логарифмов \( \ln a + \ln b = \ln(ab) \) и \( -\ln a = \ln(1/a) \), получим: \[ \ln|y| = \ln \left| \frac{C}{e^{2x} + 1} \right| \] Потенцируя выражение, находим общее решение: \[ y = \frac{C}{e^{2x} + 1} \] Проверим случай \( y = 0 \). При подстановке в исходное уравнение получаем \( 0 = 0 \), значит \( y = 0 \) также является решением (оно входит в общую формулу при \( C = 0 \)). Ответ: \[ y = \frac{C}{e^{2x} + 1} \]