Решение задачи: Найти стороны параллелограмма АВСД

Хорошо, давайте решим эти задачи по геометрии. Контрольная работа 1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 24 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза. Решение: Пусть сторона ВС параллелограмма равна \(x\) см. Тогда сторона АВ равна \(2x\) см, так как она в 2 раза больше ВС. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон. Формула периметра: \(P = 2 \cdot (AB + BC)\). Подставим известные значения: \(24 = 2 \cdot (2x + x)\) \(24 = 2 \cdot (3x)\) \(24 = 6x\) Чтобы найти \(x\), разделим 24 на 6: \(x = \frac{24}{6}\) \(x = 4\) Значит, сторона ВС равна 4 см. Сторона АВ равна \(2 \cdot 4 = 8\) см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому: ВС = АД = 4 см. АВ = СД = 8 см. Ответ: Стороны параллелограмма равны 4 см, 8 см, 4 см, 8 см. 2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 20°. Решение: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. То есть, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Пусть \(\angle A = x\). Тогда \(\angle B = x + 20^\circ\), так как угол А меньше угла В на 20°. Составим уравнение: \(x + (x + 20^\circ) = 180^\circ\) \(2x + 20^\circ = 180^\circ\) Вычтем 20° из обеих частей уравнения: \(2x = 180^\circ - 20^\circ\) \(2x = 160^\circ\) Разделим 160° на 2: \(x = \frac{160^\circ}{2}\) \(x = 80^\circ\) Значит, \(\angle A = 80^\circ\). Тогда \(\angle B = 80^\circ + 20^\circ = 100^\circ\). В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle C = \angle A = 80^\circ\). \(\angle D = \angle B = 100^\circ\). Ответ: Углы параллелограмма равны 80°, 100°, 80°, 100°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 128°. Решение: Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, то есть два угла по 90°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, в трапеции равна 180°. В прямоугольной трапеции два угла при одной из боковых сторон равны 90°. Значит, два угла трапеции уже известны: 90° и 90°. Остальные два угла - это углы при другой боковой стороне. Их сумма также равна 180°. По условию, больший из этих двух углов равен 128°. Пусть этот угол будет \(\alpha = 128^\circ\). Тогда второй угол при этой же боковой стороне будет \(\beta\). \(\alpha + \beta = 180^\circ\) \(128^\circ + \beta = 180^\circ\) \(\beta = 180^\circ - 128^\circ\) \(\beta = 52^\circ\) Ответ: Углы прямоугольной трапеции равны 90°, 90°, 128°, 52°. 4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если \(\angle АВД = 30^\circ\), АД = 15 см. Решение: Рассмотрим прямоугольник АВСД. Все его углы равны 90°. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВД. Угол А в этом треугольнике равен 90° (\(\angle ВАД = 90^\circ\)). Нам известен угол \(\angle АВД = 30^\circ\) и сторона АД = 15 см. Сторона АД является катетом, противолежащим углу \(\angle АВД\). Сторона ВД является гипотенузой. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[\sin(\angle АВД) = \frac{АД}{ВД}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{15}{ВД}\] Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[\frac{1}{2} = \frac{15}{ВД}\] Отсюда, \(ВД = 2 \cdot 15\) \(ВД = 30\) см. Так как диагонали прямоугольника равны, то АС = ВД. АС = 30 см. Ответ: Диагонали прямоугольника равны 30 см. 5. В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Докажите, что МNРК – параллелограмм. Доказательство: Пусть дан четырехугольник МNРК. По условию, сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Возьмем, например, сторону МN. Углы, прилежащие к ней, это \(\angle M\) и \(\angle N\). Значит, \(\angle M + \angle N = 180^\circ\). Это означает, что прямые МК и NР параллельны, так как внутренние односторонние углы при секущей МN в сумме дают 180°. Теперь возьмем сторону NР. Углы, прилежащие к ней, это \(\angle N\) и \(\angle P\). Значит, \(\angle N + \angle P = 180^\circ\). Это означает, что прямые МN и КР параллельны, так как внутренние односторонние углы при секущей NР в сумме дают 180°. Мы получили, что МК параллельна NР и МN параллельна КР. По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, МNРК – параллелограмм. Что и требовалось доказать. 6. В ромбе МNРК с тупым углом К диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 20°. Найти углы ромба. Решение: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом. Значит, \(\angle РЕК = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник РКЕ. Он является прямоугольным, так как \(\angle РЕК = 90^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Нам известно, что один из углов треугольника РКЕ равен 20°. Этот угол не может быть \(\angle РЕК\), так как он равен 90°. Значит, угол 20° – это либо \(\angle ЕРК\), либо \(\angle ЕКР\). Случай 1: \(\angle ЕРК = 20^\circ\). Тогда \(\angle ЕКР = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, \(\angle К = 2 \cdot \angle ЕКР = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\). Угол К является тупым, что соответствует условию задачи. Сумма соседних углов ромба равна 180°. \(\angle Р = 180^\circ - \angle К = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\). Тогда углы ромба: \(\angle К = 140^\circ\), \(\angle М = 140^\circ\), \(\angle Р = 40^\circ\), \(\angle N = 40^\circ\). Случай 2: \(\angle ЕКР = 20^\circ\). Тогда \(\angle ЕРК = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, \(\angle К = 2 \cdot \angle ЕКР = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\). Этот угол К является острым, что противоречит условию задачи, что угол К тупой. Поэтому этот случай не подходит. Ответ: Углы ромба равны 140°, 40°, 140°, 40°.