Решение задачи: Частная производная z = tg y * cos(y + e^-x) в точке (0; 2)

Задание: Найдите частную производную функции \( z = \text{tg } y \cdot \cos(y + e^{-x}) \) по переменной \( x \) в точке \( (0; 2) \). Решение: 1. Для нахождения частной производной по \( x \), мы считаем переменную \( y \) константой. Тогда множитель \( \text{tg } y \) выносится за знак производной: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \text{tg } y \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\cos(y + e^{-x})) \] 2. Применим правило дифференцирования сложной функции для косинуса: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \text{tg } y \cdot (-\sin(y + e^{-x})) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (y + e^{-x}) \] 3. Вычислим производную внутренней функции по \( x \). Так как \( y \) — константа, её производная равна 0, а производная \( e^{-x} \) равна \( -e^{-x} \): \[ \frac{\partial}{\partial x} (y + e^{-x}) = 0 + e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} \] 4. Подставим это значение в выражение: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \text{tg } y \cdot (-\sin(y + e^{-x})) \cdot (-e^{-x}) \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \text{tg } y \cdot \sin(y + e^{-x}) \cdot e^{-x} \] 5. Теперь вычислим значение производной в заданной точке \( (0; 2) \), где \( x = 0 \), а \( y = 2 \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} (0; 2) = \text{tg } 2 \cdot \sin(2 + e^{0}) \cdot e^{0} \] Так как \( e^{0} = 1 \), получаем: \[ \frac{\partial z}{\partial x} (0; 2) = \text{tg } 2 \cdot \sin(2 + 1) \cdot 1 \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} (0; 2) = \text{tg } 2 \sin 3 \] Ответ: \( \text{tg } 2 \sin 3 \) (второй вариант в списке).