Решение задачи: Смешанная производная функции z = ln(x + ln y)

Задание: Найдите смешанную частную производную второго порядка \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \) функции \( z = \ln(x + \ln y) \) в точке \( M(1; e) \). Решение: 1. Сначала найдем частную производную первого порядка по переменной \( x \). При дифференцировании по \( x \) переменная \( y \) считается константой: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\ln(x + \ln y)) = \frac{1}{x + \ln y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x + \ln y) \] Так как \( \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \) и \( \frac{\partial}{\partial x}(\ln y) = 0 \), получаем: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + \ln y} \] 2. Теперь найдем смешанную производную, продифференцировав полученный результат по переменной \( y \). Для удобства представим выражение в виде степени: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y} (x + \ln y)^{-1} \] Применяем правило дифференцирования сложной функции: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -1 \cdot (x + \ln y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x + \ln y) \] Так как \( \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0 \) и \( \frac{\partial}{\partial y}(\ln y) = \frac{1}{y} \), получаем: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{(x + \ln y)^2} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{y(x + \ln y)^2} \] 3. Вычислим значение производной в точке \( M(1; e) \), подставив \( x = 1 \) и \( y = e \): \[ \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right|_M = -\frac{1}{e(1 + \ln e)^2} \] Поскольку \( \ln e = 1 \), имеем: \[ \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right|_M = -\frac{1}{e(1 + 1)^2} = -\frac{1}{e \cdot 2^2} = -\frac{1}{4e} \] Ответ: \( -\frac{1}{4e} \) (второй вариант в списке).