Приближенное вычисление значения функции с помощью дифференциала

Задание: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в заданной точке \( M(0,98; 1,02) \), если известны: \( f(1; 1) = 2 \), \( \frac{\partial f}{\partial x}(1; 1) = -\frac{3}{2} \), \( \frac{\partial f}{\partial y}(1; 1) = -\frac{1}{2} \). Решение: 1. Формула для приближенного вычисления значения функции двух переменных через полный дифференциал имеет вид: \[ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot \Delta y \] 2. Определим начальную точку \( (x_0; y_0) \) и приращения \( \Delta x \), \( \Delta y \): Начальная точка: \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 1 \). Приращения: \[ \Delta x = x - x_0 = 0,98 - 1 = -0,02 \] \[ \Delta y = y - y_0 = 1,02 - 1 = 0,02 \] 3. Подставим известные значения в формулу: \[ f(0,98; 1,02) \approx 2 + \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot (-0,02) + \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot 0,02 \] 4. Выполним арифметические действия: Переведем дроби в десятичный вид: \( -\frac{3}{2} = -1,5 \) и \( -\frac{1}{2} = -0,5 \). \[ f(0,98; 1,02) \approx 2 + (-1,5) \cdot (-0,02) + (-0,5) \cdot 0,02 \] \[ f(0,98; 1,02) \approx 2 + 0,03 - 0,01 \] \[ f(0,98; 1,02) \approx 2,02 \] Ответ: \( 2,02 \) (второй вариант в списке).