Решение производной сложной функции z = f(x, y, t)

Задание: Найдите производную \( \frac{\partial z}{\partial x} \) сложной функции \( z = f(x, y, t) \), где \( y = \sin^3(x^2 + 3t) \), в точке \( (x, t) = (1, -1) \). Решение: 1. По правилу дифференцирования сложной функции, частная производная \( z \) по \( x \) (при условии, что \( y \) зависит от \( x \), а \( t \) — независимая переменная) вычисляется по формуле: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \] 2. Сначала найдем значение \( y \) в точке \( (x, t) = (1, -1) \): \[ y = \sin^3(1^2 + 3 \cdot (-1)) = \sin^3(1 - 3) = \sin^3(-2) = -\sin^3 2 \] Точка, в которой даны значения частных производных функции \( f \), как раз соответствует \( (1, -\sin^3 2, -1) \). 3. Найдем частную производную \( y \) по \( x \): \[ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin^3(x^2 + 3t)) \] Используем правило производной сложной функции (степенная, затем синус, затем аргумент): \[ \frac{\partial y}{\partial x} = 3\sin^2(x^2 + 3t) \cdot \cos(x^2 + 3t) \cdot (2x) \] Подставим \( x = 1 \) и \( t = -1 \): \[ \frac{\partial y}{\partial x}(1, -1) = 3\sin^2(-2) \cdot \cos(-2) \cdot (2 \cdot 1) = 6\sin^2 2 \cos 2 \] 4. Теперь подставим все известные значения в формулу из шага 1: Из условия: \( \frac{\partial f}{\partial x} = \sin^2 4 \), \( \frac{\partial f}{\partial y} = \cos 2 \). \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sin^2 4 + \cos 2 \cdot (6\sin^2 2 \cos 2) \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sin^2 4 + 6\sin^2 2 \cos^2 2 \] 5. Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \). Отсюда \( \sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \), значит \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha \). В нашем случае \( \alpha = 2 \), тогда: \[ 6\sin^2 2 \cos^2 2 = 6 \cdot \frac{1}{4} \sin^2(2 \cdot 2) = \frac{6}{4} \sin^2 4 = \frac{3}{2} \sin^2 4 \] 6. Итоговое значение: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sin^2 4 + \frac{3}{2} \sin^2 4 = \left( 1 + \frac{3}{2} \right) \sin^2 4 = \frac{5}{2} \sin^2 4 \] Ответ: \( \frac{5}{2} \sin^2 4 \) (первый вариант в списке).