Решение задачи: Частные производные неявно заданной функции

Задание: Для функции \( z = f(x, y) \), неявно заданной уравнением \( x \sin y - y \sin z + 2z \cos x = \frac{7\pi}{2} \), вычислить \( \frac{\partial z}{\partial x}(M) + \frac{\partial z}{\partial y}(M) \) в точке \( M(0; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \). Решение: 1. Обозначим левую часть уравнения как функцию \( F(x, y, z) \): \[ F(x, y, z) = x \sin y - y \sin z + 2z \cos x - \frac{7\pi}{2} = 0 \] 2. Частные производные неявно заданной функции находятся по формулам: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \] 3. Найдем частные производные функции \( F \) в точке \( M(0; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \): - По \( x \): \( F'_x = \sin y - 2z \sin x \). В точке \( M \): \( F'_x(M) = \sin(\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{3\pi}{2}) \sin(0) = 1 - 0 = 1 \). - По \( y \): \( F'_y = x \cos y - \sin z \). В точке \( M \): \( F'_y(M) = 0 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1 \). - По \( z \): \( F'_z = -y \cos z + 2 \cos x \). В точке \( M \): \( F'_z(M) = -\frac{\pi}{2} \cos(\frac{3\pi}{2}) + 2 \cos(0) = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \). 4. Вычислим значения производных \( z \) по \( x \) и по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = -\frac{1}{2} = -0,5 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = -\frac{1}{2} = -0,5 \] 5. Найдем искомую сумму: \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) + \frac{\partial z}{\partial y}(M) = -0,5 + (-0,5) = -1 \] Ответ: -1