Уравнение касательной плоскости к поверхности: решение

Задание: Найти уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{8} = 0 \), в точке \( M(4; 3; 4) \). Решение: 1. Уравнение касательной плоскости к поверхности \( F(x, y, z) = 0 \) в точке \( M(x_0, y_0, z_0) \) имеет вид: \[ F'_x(M)(x - x_0) + F'_y(M)(y - y_0) + F'_z(M)(z - z_0) = 0 \] 2. Найдем частные производные функции \( F(x, y, z) = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{8} \): \[ F'_x = \frac{2x}{16} = \frac{x}{8} \] \[ F'_y = \frac{2y}{9} \] \[ F'_z = -\frac{2z}{8} = -\frac{z}{4} \] 3. Вычислим значения производных в точке \( M(4; 3; 4) \): \[ F'_x(M) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ F'_y(M) = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] \[ F'_z(M) = -\frac{4}{4} = -1 \] 4. Подставим полученные коэффициенты и координаты точки в уравнение плоскости: \[ \frac{1}{2}(x - 4) + \frac{2}{3}(y - 3) - 1(z - 4) = 0 \] 5. Раскроем скобки: \[ \frac{1}{2}x - 2 + \frac{2}{3}y - 2 - z + 4 = 0 \] \[ \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y - z = 0 \] 6. Чтобы избавиться от дробей и привести уравнение к виду из вариантов ответа, умножим всё уравнение на 6: \[ 6 \cdot \left( \frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y - z \right) = 6 \cdot 0 \] \[ 3x + 4y - 6z = 0 \] 7. Проверим варианты ответа. Первый вариант: \( -3x - 4y + 6z = 0 \). Если умножить наше уравнение на -1, мы получим в точности этот результат: \[ -3x - 4y + 6z = 0 \] Ответ: \( -3x - 4y + 6z = 0 \) (первый вариант в списке).