Найти производную функции u(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора AB

Задача: Найти производную функции \(u(x, y, z) = x^2 y - \sqrt{xy + z^2}\) в точке \(M_0(1; 5; -2)\) по направлению вектора \(\vec{AB}\), где \(A(1; 3; -2)\) и \(B(0; 1; 0)\). Решение: 1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[\vec{AB} = (0 - 1; 1 - 3; 0 - (-2)) = (-1; -2; 2)\] 2. Найдем модуль вектора \(\vec{AB}\): \[|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\] 3. Найдем направляющие косинусы вектора (координаты единичного вектора \(\vec{l}\)): \[\vec{l} = \left( \frac{-1}{3}; \frac{-2}{3}; \frac{2}{3} \right)\] 4. Вычислим частные производные функции \(u(x, y, z)\): \[\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy - \frac{y}{2\sqrt{xy + z^2}}\] \[\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 - \frac{x}{2\sqrt{xy + z^2}}\] \[\frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{2z}{2\sqrt{xy + z^2}} = - \frac{z}{\sqrt{xy + z^2}}\] 5. Вычислим значения частных производных в точке \(M_0(1; 5; -2)\). Заметим, что подкоренное выражение: \(xy + z^2 = 1 \cdot 5 + (-2)^2 = 5 + 4 = 9\), а \(\sqrt{9} = 3\). \[u'_x(M_0) = 2 \cdot 1 \cdot 5 - \frac{5}{2 \cdot 3} = 10 - \frac{5}{6} = \frac{60 - 5}{6} = \frac{55}{6}\] \[u'_y(M_0) = 1^2 - \frac{1}{2 \cdot 3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\] \[u'_z(M_0) = - \frac{-2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}\] 6. Вычислим производную по направлению по формуле \(\frac{\partial u}{\partial l} = u'_x \cos \alpha + u'_y \cos \beta + u'_z \cos \gamma\): \[\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{55}{6} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3}\] \[\frac{\partial u}{\partial l} = -\frac{55}{18} - \frac{10}{18} + \frac{8}{18} = \frac{-55 - 10 + 8}{18} = -\frac{57}{18}\] 7. Сократим дробь на 3: \[-\frac{57}{18} = -\frac{19}{6}\] Ответ: \(-\frac{19}{6}\) (четвертый вариант в списке).