Решение задачи на экстремум функции z = x^2 + 2xy + 2y^2 - 8y + 6x

Задача: Найдите локальный экстремум функции \(z = x^2 + 2xy + 2y^2 - 8y + 6x\). Решение: 1. Найдем частные производные первого порядка: \[z'_x = 2x + 2y + 6\] \[z'_y = 2x + 4y - 8\] 2. Найдем критические точки, решив систему уравнений: \[\begin{cases} 2x + 2y + 6 = 0 \\ 2x + 4y - 8 = 0 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \[(2x + 4y - 8) - (2x + 2y + 6) = 0\] \[2y - 14 = 0 \Rightarrow y = 7\] Подставим \(y = 7\) в первое уравнение: \[2x + 2(7) + 6 = 0 \Rightarrow 2x + 14 + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -20 \Rightarrow x = -10\] Получена критическая точка \(M_0(-10; 7)\). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[A = z''_{xx} = 2\] \[B = z''_{xy} = 2\] \[C = z''_{yy} = 4\] 4. Проверим достаточное условие экстремума (определитель \(\Delta\)): \[\Delta = AC - B^2 = 2 \cdot 4 - 2^2 = 8 - 4 = 4\] Так как \(\Delta > 0\), в точке \(M_0\) есть экстремум. Так как \(A = 2 > 0\), то точка \(M_0\) является точкой локального минимума. 5. Вычислим значение функции в точке минимума: \[z_{min} = (-10)^2 + 2(-10)(7) + 2(7)^2 - 8(7) + 6(-10)\] \[z_{min} = 100 - 140 + 2(49) - 56 - 60\] \[z_{min} = 100 - 140 + 98 - 56 - 60\] \[z_{min} = -40 + 98 - 56 - 60 = 58 - 56 - 60 = 2 - 60 = -58\] Ответ: \(z_{min} = -58\) (первый вариант в списке).