Решение задачи: Экстремум функции через формулу Тейлора

Задача: Функция задана в окрестности точки \((x_0, y_0)\) формулой Тейлора: \[f(x, y) = -dx - \frac{1}{4}dx^2 - \frac{4}{3}dxdy + \frac{7}{4}dy^2 + o(\rho^2), \rho = \sqrt{dx^2 + dy^2}\] Выберите все верные утверждения о наличии или отсутствии у функции экстремума в точке \((x_0, y_0)\). Решение: 1. Вспомним общий вид формулы Тейлора для функции двух переменных в окрестности точки: \[f(x, y) = f(x_0, y_0) + (f'_x dx + f'_y dy) + \frac{1}{2}(f''_{xx} dx^2 + 2f''_{xy} dxdy + f''_{yy} dy^2) + \dots\] 2. Необходимым условием локального экстремума является равенство нулю первого дифференциала: \[df(x_0, y_0) = f'_x dx + f'_y dy = 0\] Это означает, что коэффициенты при \(dx\) и \(dy\) в линейной части разложения должны быть равны нулю. 3. Посмотрим на заданную формулу: Линейная часть (первый дифференциал) содержит слагаемое \(-dx\). Это значит: \[f'_x(x_0, y_0) = -1 \neq 0\] \[f'_y(x_0, y_0) = 0\] 4. Так как \(f'_x \neq 0\), первый дифференциал не равен тождественному нулю. Следовательно, необходимое условие экстремума в точке \((x_0, y_0)\) не выполнено. 5. Проверим утверждение про условный экстремум с уравнением связи \(x = x_0\). Если \(x = x_0\), то \(dx = 0\). Подставим \(dx = 0\) в формулу Тейлора: \[f(x_0, y) = \frac{7}{4}dy^2 + o(dy^2)\] Здесь первый дифференциал по \(y\) равен нулю, а второй дифференциал \(d^2f = \frac{7}{2}dy^2 > 0\). Это означает, что при условии \(x = x_0\) функция имеет в точке \((x_0, y_0)\) условный минимум. То есть условный экстремум существует. Анализ вариантов: 1. "f(x, y) имеет условный экстремум в точке (x0, y0) с уравнением связи x = x0" — Верно. 2. "f(x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0)" — Неверно (не выполнено необходимое условие). 3. "Выполнено необходимое условие экстремума, но экстремума нет" — Неверно (условие не выполнено). 4. "Не выполнено необходимое условие экстремума" — Верно. Ответ: 1. f(x, y) имеет условный экстремум в точке (x0, y0) с уравнением связи x = x0. 2. Не выполнено необходимое условие экстремума.