Решение задачи: Наименьшее и наибольшее значение функции z = (x + y)^2 - 6(x + y) + 11

Задача: Найти наименьшее и наибольшее значения функции \(z = (x + y)^2 - 6(x + y) + 11\) на отрезке прямой \(y = -4x\), соединяющей точки \(A(-2; 8)\) и \(B(1; -4)\). Решение: 1. Подставим уравнение прямой \(y = -4x\) в выражение для функции \(z\), чтобы свести задачу к функции одной переменной: Пусть \(t = x + y\). Так как \(y = -4x\), то: \[t = x + (-4x) = -3x\] Тогда функция примет вид: \[z(x) = (-3x)^2 - 6(-3x) + 11 = 9x^2 + 18x + 11\] 2. Определим границы изменения переменной \(x\) для отрезка \(AB\): Точка \(A\) имеет \(x = -2\), точка \(B\) имеет \(x = 1\). Следовательно, нам нужно найти экстремумы функции \(z(x) = 9x^2 + 18x + 11\) на отрезке \(x \in [-2; 1]\). 3. Найдем критические точки функции \(z(x)\), вычислив производную: \[z'(x) = 18x + 18\] Приравняем к нулю: \[18x + 18 = 0 \Rightarrow 18x = -18 \Rightarrow x = -1\] Точка \(x = -1\) принадлежит отрезку \([-2; 1]\). 4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \(x = -1\): \[z(-1) = 9(-1)^2 + 18(-1) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2\] При \(x = -2\) (точка \(A\)): \[z(-2) = 9(-2)^2 + 18(-2) + 11 = 9 \cdot 4 - 36 + 11 = 36 - 36 + 11 = 11\] При \(x = 1\) (точка \(B\)): \[z(1) = 9(1)^2 + 18(1) + 11 = 9 + 18 + 11 = 38\] 5. Сравним полученные значения: Наименьшее значение: \(z_{min} = 2\). Наибольшее значение: \(z_{max} = 38\). Ответ: 2 и 38 (первый вариант в списке).