Область определения функции y = 3 arccos((1-2x)/5) - log5(4x/(x-1)^2)

Задача: Укажите область определения функции \(y = 3 \arccos \frac{1-2x}{5} - \log_5 \frac{4x}{(x-1)^2}\). Решение: Область определения данной функции состоит из системы ограничений для арккосинуса и логарифма. 1. Ограничение для арккосинуса: аргумент должен находиться в пределах от \(-1\) до \(1\). \[-1 \le \frac{1-2x}{5} \le 1\] Умножим все части неравенства на 5: \[-5 \le 1 - 2x \le 5\] Вычтем 1 из всех частей: \[-6 \le -2x \le 4\] Разделим на \(-2\), при этом знаки неравенства перевернутся: \[3 \ge x \ge -2 \quad \text{или} \quad x \in [-2; 3]\] 2. Ограничение для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля. \[\frac{4x}{(x-1)^2} > 0\] Так как квадрат в знаменателе \((x-1)^2\) всегда положителен при \(x \neq 1\), то знак дроби зависит только от числителя: \[4x > 0 \Rightarrow x > 0\] При этом знаменатель не может быть равен нулю: \[(x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\] Таким образом, для логарифма: \(x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\). 3. Найдем пересечение полученных условий: \[\begin{cases} x \in [-2; 3] \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}\] Пересекая интервалы, получаем: \[x \in (0; 1) \cup (1; 3]\] Ответ: \((0; 1) \cup (1; 3]\) (второй вариант в списке).