Нахождение области определения функции y = tg(arcsin x)

Задача: Найдите область определения функции \(y = \text{tg}(\arcsin x)\). Решение: Для нахождения области определения данной сложной функции необходимо учесть ограничения для каждой из составляющих функций. 1. Ограничение для арксинуса: Функция \(\arcsin x\) определена только тогда, когда её аргумент \(x\) находится в промежутке от \(-1\) до \(1\) включительно: \[-1 \le x \le 1\] 2. Ограничение для тангенса: Функция \(\text{tg}(u)\) не определена в точках, где косинус равен нулю, то есть когда \(u = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\) — целое число. В нашем случае \(u = \arcsin x\). Значения функции \(\arcsin x\) по определению лежат в промежутке \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). Следовательно, тангенс не будет существовать только в тех точках, где \(\arcsin x = \frac{\pi}{2}\) или \(\arcsin x = -\frac{\pi}{2}\). 3. Найдем эти критические значения \(x\): \[\arcsin x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\] \[\arcsin x = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\] 4. Исключим эти точки из области определения арксинуса: Из условия \(-1 \le x \le 1\) мы должны убрать точки \(x = 1\) и \(x = -1\). Таким образом, остаются значения: \[-1 < x < 1\] Или в виде интервала: \((-1; 1)\). Ответ: \((-1; 1)\) (третий вариант в списке).