Решение задачи: определение ограниченных функций

Задача: Отметьте все ограниченные функции. Решение: Функция называется ограниченной, если существует такое число \(M\), что для всех \(x\) из области определения выполняется неравенство \(|f(x)| \le M\). Проанализируем каждый вариант: 1. \(e^{-|x|}\) Поскольку \(|x| \ge 0\), то степень \(-|x| \le 0\). Экспонента с отрицательным или нулевым показателем принимает значения в интервале \((0; 1]\). Следовательно, функция ограничена сверху числом 1 и снизу числом 0. Это верный вариант. 2. \(\sin^2(\text{tg } x)\) Внешняя функция здесь — квадрат синуса. Мы знаем, что для любого аргумента \(u\) выполняется условие \(-1 \le \sin u \le 1\), а значит \(0 \le \sin^2 u \le 1\). Несмотря на то, что аргумент \(\text{tg } x\) может принимать любые значения, итоговое значение функции всегда зажато в пределах от 0 до 1. Это верный вариант. 3. \(\text{tg } x\) График тангенса имеет вертикальные асимптоты в точках \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\). При приближении к этим точкам значения функции стремятся к \(+\infty\) или \(-\infty\). Функция не является ограниченной. 4. \(2x^2 - x + 1\) Это квадратичная функция (парабола, ветви которой направлены вверх). При \(x \to \pm\infty\) значения функции стремятся к \(+\infty\). Функция ограничена снизу (своей вершиной), но не ограничена сверху. Следовательно, она не является ограниченной. Ответ: 1. \(e^{-|x|}\) 2. \(\sin^2(\text{tg } x)\)