Решение задачи: Исследование функции на монотонность

Для решения задачи проанализируем каждую из предложенных функций на монотонность в их области определения. 1. Рассмотрим первую функцию: \[ f_1(x) = \frac{1}{1 + \sqrt[3]{2-x}} \] Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Проследим изменение функции при увеличении \( x \): - Если \( x \) растет, то \( (2-x) \) убывает. - Корень нечетной степени \( \sqrt[3]{2-x} \) также убывает. - Знаменатель \( 1 + \sqrt[3]{2-x} \) убывает. - Так как знаменатель убывает (и он положителен при больших \( x \), а в точке \( x=3 \) равен 0, что требует осторожности, но корень определен везде), то дробь \( \frac{1}{...} \) будет возрастать на промежутках, где знаменатель не равен нулю. Однако, при \( x=3 \) знаменатель равен 0, функция имеет разрыв. В строгом смысле на всей области определения она не является монотонно возрастающей из-за точки разрыва. 2. Рассмотрим вторую функцию: \[ f_2(x) = \sqrt[3]{2-x} \] Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). При увеличении \( x \), выражение под корнем \( (2-x) \) уменьшается. Следовательно, и значение корня нечетной степени уменьшается. Эта функция является монотонно убывающей. 3. Рассмотрим третью функцию: \[ f_3(x) = \frac{1}{1 + 2^x} \] Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). При увеличении \( x \), показатель \( 2^x \) растет. Знаменатель \( 1 + 2^x \) также растет. Следовательно, дробь \( \frac{1}{1 + 2^x} \) уменьшается. Функция монотонно убывает. 4. Рассмотрим четвертую функцию: \[ f_4(x) = 2\sqrt[3]{x} \] Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Функция \( \sqrt[3]{x} \) является классическим примером монотонно возрастающей функции на всей числовой прямой. Умножение на положительное число 2 сохраняет характер монотонности. При увеличении \( x \), значение \( 2\sqrt[3]{x} \) всегда увеличивается. Вывод: Единственной функцией из списка, которая монотонно возрастает во всей своей области определения, является последняя. Правильный ответ: \[ 2\sqrt[3]{x} \]