Задача: Банк выдал кредит на 6 месяцев в сумме P=120 тыс. рублей. Ожидаемый месячный уровень инфляции α = 2%, требуемая реальная доходность операции равна i 10% годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.
Дано:
- Сумма кредита (P) = 120 000 рублей
- Срок кредита (n) = 6 месяцев
- Месячный уровень инфляции (α) = 2% = 0,02
- Требуемая реальная годовая доходность (i) = 10% = 0,10
Найти:
- Ставка процентов по кредиту с учетом инфляции (I)
- Размер наращенной суммы (S)
- Величина процентного платежа (Проценты)
Решение:
1. Переведем годовую реальную доходность в месячную.
Так как срок кредита в месяцах и инфляция дана месячная, нам удобнее работать с месячными ставками.
Формула для перевода годовой ставки в месячную (при условии сложного процента):
\[ i_{мес} = (1 + i_{год})^{1/12} - 1 \]Подставим значения:
\[ i_{мес} = (1 + 0,10)^{1/12} - 1 \] \[ i_{мес} = (1,10)^{1/12} - 1 \] \[ i_{мес} \approx 1,007974 - 1 \] \[ i_{мес} \approx 0,007974 \]Или в процентах: \( i_{мес} \approx 0,7974\% \)
2. Определим номинальную ставку процентов по кредиту с учетом инфляции (I).
Для определения номинальной ставки, которая учитывает как реальную доходность, так и инфляцию, используется формула Фишера:
\[ (1 + I) = (1 + i_{мес}) \cdot (1 + \alpha) \]Где:
- I - номинальная месячная ставка процентов
- \( i_{мес} \) - реальная месячная доходность
- α - месячный уровень инфляции
Подставим значения:
\[ (1 + I) = (1 + 0,007974) \cdot (1 + 0,02) \] \[ (1 + I) = 1,007974 \cdot 1,02 \] \[ (1 + I) \approx 1,028133 \] \[ I \approx 1,028133 - 1 \] \[ I \approx 0,028133 \]Таким образом, месячная номинальная ставка процентов по кредиту составляет примерно \( 2,8133\% \).
Чтобы получить годовую номинальную ставку (если это требуется, хотя для дальнейших расчетов удобнее месячная):
\[ I_{год} = (1 + I_{мес})^{12} - 1 \] \[ I_{год} = (1 + 0,028133)^{12} - 1 \] \[ I_{год} \approx (1,028133)^{12} - 1 \] \[ I_{год} \approx 1,3948 - 1 \] \[ I_{год} \approx 0,3948 \]Или в процентах: \( I_{год} \approx 39,48\% \)
Ответ на первый вопрос: Ставка процентов по кредиту с учетом инфляции (месячная) составляет примерно \( 2,81\% \), годовая - примерно \( 39,48\% \).
3. Определим размер наращенной суммы (S).
Наращенная сумма рассчитывается по формуле сложных процентов:
\[ S = P \cdot (1 + I)^n \]Где:
- S - наращенная сумма
- P - первоначальная сумма кредита
- I - месячная номинальная ставка процентов
- n - срок кредита в месяцах
Подставим значения:
\[ S = 120000 \cdot (1 + 0,028133)^6 \] \[ S = 120000 \cdot (1,028133)^6 \] \[ S \approx 120000 \cdot 1,1800 \] \[ S \approx 141600 \]Ответ на второй вопрос: Размер наращенной суммы составляет примерно 141 600 рублей.
4. Определим величину процентного платежа.
Процентный платеж - это разница между наращенной суммой и первоначальной суммой кредита:
\[ Проценты = S - P \]Подставим значения:
\[ Проценты = 141600 - 120000 \] \[ Проценты = 21600 \]Ответ на третий вопрос: Величина процентного платежа составляет 21 600 рублей.
Итоговые ответы:
- Ставка процентов по кредиту с учетом инфляции (месячная) составляет примерно \( 2,81\% \), годовая - примерно \( 39,48\% \).
- Размер наращенной суммы составляет примерно 141 600 рублей.
- Величина процентного платежа составляет 21 600 рублей.