Решение задачи №2.4: Расчет потерь давления в трубопроводе

Задача №2.4 Дано: Материал: стальная сварная новая труба. Температура воды: \(t = 20^{\circ}C\). Длина трубы: \(l = 105\) м. Площадь живого сечения: \(\omega = 0,015\) м\(^{2}\). Средняя скорость: \(c = 7\) м/с. Плотность воды при \(20^{\circ}C\): \(\rho \approx 998\) кг/м\(^{3}\). Кинематическая вязкость воды при \(20^{\circ}C\): \(\nu \approx 1,006 \cdot 10^{-6}\) м\(^{2}\)/с. Эквивалентная шероховатость для новых стальных труб: \(\Delta \approx 0,1\) мм \(= 0,0001\) м. Найти: \(\Delta p_{кр}\), \(\Delta p_{кв}\), \(\Delta p_{тр}\) — ? Решение: 1. Для всех типов сечений потери давления на трение определяются по формуле Дарси-Вейсбаха: \[ \Delta p = \lambda \cdot \frac{l}{d_{э}} \cdot \frac{\rho \cdot c^{2}}{2} \] где \(d_{э}\) — эквивалентный (гидравлический) диаметр, который вычисляется как: \[ d_{э} = \frac{4 \cdot \omega}{\chi} \] где \(\chi\) — смоченный периметр. 2. Найдем параметры для каждого сечения: а) Круглое сечение: \[ \omega = \frac{\pi \cdot d^{2}}{4} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{4 \cdot \omega}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,015}{3,1416}} \approx 0,1382 \text{ м} \] Для круга \(d_{э} = d = 0,1382\) м. Периметр \(\chi_{кр} = \pi \cdot d = 3,1416 \cdot 0,1382 \approx 0,4342\) м. б) Квадратное сечение: \[ \omega = a^{2} \Rightarrow a = \sqrt{\omega} = \sqrt{0,015} \approx 0,1225 \text{ м} \] Периметр \(\chi_{кв} = 4 \cdot a = 4 \cdot 0,1225 = 0,49\) м. Эквивалентный диаметр: \[ d_{э, кв} = \frac{4 \cdot 0,015}{0,49} \approx 0,1225 \text{ м} \] в) Треугольное сечение (равносторонний треугольник): \[ \omega = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot b^{2} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{4 \cdot \omega}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,015}{1,732}} \approx 0,1861 \text{ м} \] Периметр \(\chi_{тр} = 3 \cdot b = 3 \cdot 0,1861 \approx 0,5583\) м. Эквивалентный диаметр: \[ d_{э, тр} = \frac{4 \cdot 0,015}{0,5583} \approx 0,1075 \text{ м} \] 3. Определим число Рейнольдса для круглой трубы (для оценки режима): \[ Re = \frac{c \cdot d_{э}}{\nu} = \frac{7 \cdot 0,1382}{1,006 \cdot 10^{-6}} \approx 961630 \] Режим движения турбулентный. Коэффициент трения \(\lambda\) зависит от шероховатости. Воспользуемся формулой Альтшуля: \[ \lambda = 0,11 \cdot \left( \frac{\Delta}{d_{э}} + \frac{68}{Re} \right)^{0,25} \] 4. Расчет потерь: Для круглого сечения: \[ \lambda_{кр} = 0,11 \cdot \left( \frac{0,0001}{0,1382} + \frac{68}{961630} \right)^{0,25} \approx 0,0185 \] \[ \Delta p_{кр} = 0,0185 \cdot \frac{105}{0,1382} \cdot \frac{998 \cdot 7^{2}}{2} \approx 343600 \text{ Па} \approx 343,6 \text{ кПа} \] Для квадратного сечения: \[ Re_{кв} = \frac{7 \cdot 0,1225}{1,006 \cdot 10^{-6}} \approx 852385 \] \[ \lambda_{кв} = 0,11 \cdot \left( \frac{0,0001}{0,1225} + \frac{68}{852385} \right)^{0,25} \approx 0,0191 \] \[ \Delta p_{кв} = 0,0191 \cdot \frac{105}{0,1225} \cdot \frac{998 \cdot 7^{2}}{2} \approx 400100 \text{ Па} \approx 400,1 \text{ кПа} \] Для треугольного сечения: \[ Re_{тр} = \frac{7 \cdot 0,1075}{1,006 \cdot 10^{-6}} \approx 748012 \] \[ \lambda_{тр} = 0,11 \cdot \left( \frac{0,0001}{0,1075} + \frac{68}{748012} \right)^{0,25} \approx 0,0198 \] \[ \Delta p_{тр} = 0,0198 \cdot \frac{105}{0,1075} \cdot \frac{998 \cdot 7^{2}}{2} \approx 472500 \text{ Па} \approx 472,5 \text{ кПа} \] Ответ: \(\Delta p_{кр} \approx 343,6\) кПа; \(\Delta p_{кв} \approx 400,1\) кПа; \(\Delta p_{тр} \approx 472,5\) кПа.