Решение задачи 3: Изгиб консольной балки

Задача 3. Изгиб консольной балки. Дано: \(M = 13\) кНм; \(P_1 = 20\) кН; \(P_2 = 35\) кН; \(q = 20\) кН/м; \(a = 2\) м. Расстояния между точками: \(AC = 3a = 6\) м; \(CB = 2a = 4\) м; \(BK = 3a = 6\) м; \(KS = 2a = 4\) м. Общая длина балки \(L = 10a = 20\) м. 1. Определение реакций в опоре (заделке) А. В жесткой заделке возникают три реакции: вертикальная сила \(R_A\), горизонтальная сила \(X_A\) и реактивный момент \(M_A\). Так как горизонтальных внешних сил нет, \(X_A = 0\). Составим уравнение проекций сил на вертикальную ось Y: \[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A - q \cdot 3a - P_2 - P_1 = 0 \] \[ R_A = q \cdot 6 + P_2 + P_1 = 20 \cdot 6 + 35 + 20 = 120 + 35 + 20 = 175 \text{ кН} \] Составим уравнение моментов относительно точки А: \[ \sum M_A = 0 \Rightarrow M_A - q \cdot 3a \cdot \frac{3a}{2} - M - P_2 \cdot (3a + 2a + 3a) - P_1 \cdot (3a + 2a + 3a + 2a) = 0 \] \[ M_A = q \cdot \frac{9a^2}{2} + M + P_2 \cdot 8a + P_1 \cdot 10a \] \[ M_A = 20 \cdot \frac{9 \cdot 4}{2} + 13 + 35 \cdot 16 + 20 \cdot 20 \] \[ M_A = 360 + 13 + 560 + 400 = 1333 \text{ кНм} \] 2. Построение эпюр поперечных сил \(Q\) и изгибающих моментов \(M_x\). Разделим балку на участки, начиная со свободного конца S (справа налево), так удобнее для консоли. Участок 1: \(0 \le z_1 \le 2a\) (от S до K) \[ Q_1(z_1) = P_1 = 20 \text{ кН} \] \[ M_1(z_1) = -P_1 \cdot z_1 \] При \(z_1 = 0\): \(M_1 = 0\). При \(z_1 = 4\): \(M_1 = -20 \cdot 4 = -80 \text{ кНм}\). Участок 2: \(2a \le z_2 \le 5a\) (от K до B) \[ Q_2(z_2) = P_1 + P_2 = 20 + 35 = 55 \text{ кН} \] \[ M_2(z_2) = -P_1 \cdot z_2 - P_2 \cdot (z_2 - 4) \] При \(z_2 = 4\): \(M_2 = -80 \text{ кНм}\). При \(z_2 = 10\): \(M_2 = -20 \cdot 10 - 35 \cdot 6 = -200 - 210 = -410 \text{ кНм}\). Участок 3: \(5a \le z_3 \le 7a\) (от B до C) На границе в точке B приложен момент M. \[ Q_3(z_3) = 55 \text{ кН} \] \[ M_3(z_3) = M_2(z_3) - M \] (знак зависит от направления, по схеме M вращает против часовой, что для правой части дает минус) При \(z_3 = 10\) (левее B): \(M_3 = -410 - 13 = -423 \text{ кНм}\). При \(z_3 = 14\): \(M_3 = -423 - 55 \cdot 4 = -423 - 220 = -643 \text{ кНм}\). Участок 4: \(7a \le z_4 \le 10a\) (от C до A) \[ Q_4(z_4) = 55 + q \cdot (z_4 - 14) \] При \(z_4 = 20\): \(Q_4 = 55 + 20 \cdot 6 = 175 \text{ кН}\) (совпадает с \(R_A\)). \[ M_4(z_4) = M_3(14) - 55 \cdot (z_4 - 14) - q \cdot \frac{(z_4 - 14)^2}{2} \] При \(z_4 = 20\): \(M_4 = -643 - 55 \cdot 6 - 20 \cdot \frac{36}{2} = -643 - 330 - 360 = -1333 \text{ кНм}\) (совпадает с \(M_A\)). 3. Подбор сечения. Для подбора сечения используем максимальный момент \(|M_{max}| = 1333 \text{ кНм}\). Допустимое напряжение для стали примем \([\sigma] = 160 \text{ МПа}\). Требуемый момент сопротивления: \[ W_{тр} = \frac{|M_{max}|}{[\sigma]} = \frac{1333 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} \approx 0.00833 \text{ м}^3 = 8330 \text{ см}^3 \] Для круглого сечения: \[ W = \frac{\pi d^3}{32} \Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{32 W}{\pi}} = \sqrt[3]{\frac{32 \cdot 8330}{3.14}} \approx 44 \text{ см} \] Для двутавра: по ГОСТу подбирается номер двутавра, у которого \(W_x \ge 8330 \text{ см}^3\). Это очень мощная балка, возможно, потребуется составное сечение. 4. Изображение сечений. В тетради следует нарисовать круг диаметром \(d\) и контур двутавра согласно выбранному номеру из справочника.