Упрощение выражений: (a^(1/2) + b^(1/2))(a^(1/2) - b^(1/2)) и (3a^(1/4) + a^(3/4))^2

Задание: Упростить выражение. Решение: а) \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \) Заметим, что \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) и \( \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} \). Перепишем выражение: \[ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) \] Воспользуемся формулой разности квадратов \( (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \): \[ (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - b \] Ответ: \( a - b \) б) \( (3a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{3}{4}})^2 \) Воспользуемся формулой квадрата суммы \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \): \[ (3a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot 3a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + (a^{\frac{3}{4}})^2 \] При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 9a^{\frac{2}{4}} + 6a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{6}{4}} \] Упростим дроби в показателях: \[ 9a^{\frac{1}{2}} + 6a^1 + a^{\frac{3}{2}} \] Или, используя корни: \[ 9\sqrt{a} + 6a + a\sqrt{a} \] Ответ: \( 9a^{\frac{1}{2}} + 6a + a^{\frac{3}{2}} \) (или \( 9\sqrt{a} + 6a + a\sqrt{a} \))