Решение задачи А-10: Расчет давления жидкости

Задача А-10 Дано: \( \gamma_м = 750 \, \text{кг/м}^3 \) (плотность масла \( \rho_м \)) \( \rho_{рт} = 13600 \, \text{кг/м}^3 \) (плотность ртути) \( Z = 30 \, \text{см} = 0.3 \, \text{м} \) \( H = 1.2 \, \text{м} \) \( P_{атм} = 770 \, \text{мм. рт. ст.} \) \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) Найти: 1) \( h \) — высоту столба масла. 2) \( P_{абс} \) — абсолютное давление на поверхности. Решение: 1. Найдем избыточное давление воздуха в резервуаре \( P_{изб} \). Так как ртуть в левом колене поднялась на \( Z \), а в правом опустилась на \( Z \), то разность уровней ртути составит: \[ \Delta h_{рт} = 2 \cdot Z = 2 \cdot 0.3 = 0.6 \, \text{м} \] Давление в резервуаре на уровне раздела сред (масло-ртуть) уравновешивается давлением столба ртути. Согласно основному уравнению гидростатики для пьезометра: \[ P_{изб} + \rho_м \cdot g \cdot h = \rho_{рт} \cdot g \cdot \Delta h_{рт} \] Однако, согласно условию о сжатии воздуха, нам нужно рассмотреть изменение объема воздуха. Начальный объем воздуха: \( V_1 = S \cdot H \). Конечный объем воздуха: \( V_2 = S \cdot (H - h) \). По закону Бойля-Мариотта: \( P_{атм} \cdot V_1 = P_{абс} \cdot V_2 \). \[ P_{атм} \cdot H = P_{абс} \cdot (H - h) \] Отсюда абсолютное давление воздуха над маслом: \[ P_{абс} = P_{атм} \cdot \frac{H}{H - h} \] Избыточное давление воздуха: \[ P_{изб} = P_{абс} - P_{атм} = P_{атм} \cdot \left( \frac{H}{H - h} - 1 \right) = P_{атм} \cdot \frac{h}{H - h} \] 2. Составим уравнение равновесия для уровней в пьезометре: Давление в правом колене на уровне ртути равно давлению в левом колене. \[ P_{абс} + \rho_м \cdot g \cdot h = P_{атм} + \rho_{рт} \cdot g \cdot (2Z) \] Выразим разность давлений: \[ P_{абс} - P_{атм} + \rho_м \cdot g \cdot h = \rho_{рт} \cdot g \cdot 2Z \] \[ P_{атм} \cdot \frac{h}{H - h} + \rho_м \cdot g \cdot h = \rho_{рт} \cdot g \cdot 2Z \] Переведем \( P_{атм} \) в Паскали: \[ P_{атм} = \rho_{рт} \cdot g \cdot 0.770 = 13600 \cdot 9.81 \cdot 0.770 \approx 102730 \, \text{Па} \] Подставим значения в уравнение: \[ 102730 \cdot \frac{h}{1.2 - h} + 750 \cdot 9.81 \cdot h = 13600 \cdot 9.81 \cdot 0.6 \] \[ \frac{102730h}{1.2 - h} + 7357.5h = 80049.6 \] Это квадратное уравнение относительно \( h \). Для упрощения школьной задачи в таких случаях часто пренебрегают весом столба масла, если он мал по сравнению с давлением воздуха, но решим точнее. При \( h \approx 0.55 \, \text{м} \): \[ \frac{102730 \cdot 0.55}{0.65} + 7357.5 \cdot 0.55 \approx 86925 + 4046 = 90971 \] (немного больше 80049) При \( h \approx 0.5 \, \text{м} \): \[ \frac{102730 \cdot 0.5}{0.7} + 7357.5 \cdot 0.5 \approx 73378 + 3678 = 77056 \] (немного меньше 80049) Методом подбора или решения уравнения получаем: \[ h \approx 0.52 \, \text{м} \] 3. Найдем абсолютное давление на поверхности масла: \[ P_{абс} = P_{атм} \cdot \frac{H}{H - h} = 102730 \cdot \frac{1.2}{1.2 - 0.52} \] \[ P_{абс} = 102730 \cdot \frac{1.2}{0.68} \approx 181288 \, \text{Па} \] Ответ: 1) Высота столба масла \( h \approx 0.52 \, \text{м} \). 2) Абсолютное давление \( P_{абс} \approx 181288 \, \text{Па} \) (или \( \approx 1.79 \, \text{атм} \)).