Решение задачи Б-10 по гидростатике

Задача Б-10 Дано: \( D = 0.2 \, \text{м} \) \( a = 0.4 \, \text{м} \) \( d = 0.1 \, \text{м} \) \( G_1 = 300 \, \text{кг} \) (масса крышки, \( P_1 = G_1 \cdot g \)) \( G_2 = 150 \, \text{кг} \) (масса цилиндра, \( P_2 = G_2 \cdot g \)) \( G_3 = 120 \, \text{кг} \) (масса дна, \( P_3 = G_3 \cdot g \)) \( \rho = 1000 \, \text{кг/м}^3 \) (плотность воды) \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) \( M_{max} = 30 \, \text{ат} \approx 30 \cdot 10^5 \, \text{Па} \) Найти: 1) \( P_M \) — показание манометра. 2) \( R_A, R_B \) — усилия в болтах. 3) \( d_{min} \) — минимальный диаметр плунжера. Решение: 1. Определим вес воды в сосуде \( G_в \). Объем воды равен объему цилиндра минус объем погруженной части плунжера. Предположим, плунжер входит на всю высоту \( a \): \[ V_в = \frac{\pi D^2}{4} \cdot a - \frac{\pi d^2}{4} \cdot a = \frac{\pi \cdot a}{4} (D^2 - d^2) \] \[ V_в = \frac{3.14 \cdot 0.4}{4} (0.2^2 - 0.1^2) = 0.314 \cdot 0.03 = 0.00942 \, \text{м}^3 \] Вес воды: \( P_в = V_в \cdot \rho \cdot g = 0.00942 \cdot 1000 \cdot 9.81 \approx 92.4 \, \text{Н} \). 2. Найдем давление \( P_M \). Сосуд в сборе (крышка + стенки + дно + вода) давит вниз. Эта сила уравновешивается силой давления плунжера снизу. Суммарный вес системы: \[ \sum G = (G_1 + G_2 + G_3) \cdot g + P_в = (300 + 150 + 120) \cdot 9.81 + 92.4 = 5591.7 + 92.4 = 5684.1 \, \text{Н} \] Сила давления со стороны плунжера на жидкость: \( F = P_{абс} \cdot \frac{\pi d^2}{4} \). Однако манометр показывает избыточное давление. Условие равновесия всего сосуда на плунжере: \[ P_M \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \sum G \] \[ P_M = \frac{4 \cdot \sum G}{\pi d^2} = \frac{4 \cdot 5684.1}{3.14 \cdot 0.1^2} = \frac{22736.4}{0.0314} \approx 724089 \, \text{Па} \approx 7.24 \, \text{ат} \] 3. Усилия в болтовых группах. Группа А (держит верхнюю крышку): На крышку снизу действует сила давления \( P_M \cdot \frac{\pi D^2}{4} \), а сверху её прижимает собственный вес \( G_1 \cdot g \). \[ R_A = P_M \cdot \frac{\pi D^2}{4} - G_1 \cdot g = 724089 \cdot \frac{3.14 \cdot 0.2^2}{4} - 300 \cdot 9.81 \] \[ R_A = 724089 \cdot 0.0314 - 2943 = 22736.4 - 2943 = 19793.4 \, \text{Н} \] Группа В (держит нижнюю крышку): На дно действует давление жидкости \( P_{дно} = P_M + \rho g a \). Сила давления направлена вниз. \[ R_B = (P_M + \rho g a) \cdot \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4} - G_3 \cdot g \] \[ R_B = (724089 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.4) \cdot 0.02355 - 120 \cdot 9.81 \] \[ R_B = 728013 \cdot 0.02355 - 1177.2 = 17144.7 - 1177.2 = 15967.5 \, \text{Н} \] 4. Минимальный диаметр плунжера \( d_{min} \). Из формулы \( P_M = \frac{4 \cdot \sum G}{\pi d^2} \), при \( P_M = 30 \, \text{ат} = 30 \cdot 98066.5 \approx 2941995 \, \text{Па} \): \[ d^2 = \frac{4 \cdot \sum G}{\pi \cdot P_{max}} = \frac{4 \cdot 5684.1}{3.14 \cdot 2941995} \approx 0.00246 \] \[ d_{min} = \sqrt{0.00246} \approx 0.0496 \, \text{м} \approx 50 \, \text{мм} \] Ответ: 1) \( P_M \approx 7.24 \, \text{ат} \). 2) \( R_A \approx 19793 \, \text{Н} \), \( R_B \approx 15967 \, \text{Н} \). 3) \( d_{min} \approx 50 \, \text{мм} \).