Решение задачи В-10: определение реакций опор щита в воде

Задача В-10 Дано: \( b = 3 \, \text{м} \) (ширина щита) \( H_1 = 4 \, \text{м} \) (глубина воды слева) \( H_2 = 1 \, \text{м} \) (глубина воды справа) \( a = 0.5 \, \text{м} \) (расстояние от верхней кромки до опоры) \( \alpha = 60^\circ \) \( \rho = 1000 \, \text{кг/м}^3 \) \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( R_{верх} \), \( R_{ниж} \) — реакции опорных брусьев. Решение: 1. Определим длину смоченной части щита слева \( L_1 \) и справа \( L_2 \): \[ L_1 = \frac{H_1}{\sin \alpha} = \frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{0.866} \approx 4.62 \, \text{м} \] \[ L_2 = \frac{H_2}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{1}{0.866} \approx 1.15 \, \text{м} \] 2. Вычислим силы гидростатического давления слева \( P_1 \) и справа \( P_2 \): Сила давления равна произведению давления в центре тяжести смоченной площади на саму площадь. Центр тяжести для прямоугольника находится на глубине \( h_c = H/2 \). \[ P_1 = \rho \cdot g \cdot \frac{H_1}{2} \cdot (b \cdot L_1) = 1000 \cdot 9.81 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 4.62) \approx 271933 \, \text{Н} \] \[ P_2 = \rho \cdot g \cdot \frac{H_2}{2} \cdot (b \cdot L_2) = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \cdot (3 \cdot 1.15) \approx 16922 \, \text{Н} \] Результирующая сила давления \( P = P_1 - P_2 = 271933 - 16922 = 255011 \, \text{Н} \). 3. Определим точки приложения сил (центры давления) относительно дна по щиту: Для прямоугольной плоскости расстояние от дна до центра давления равно \( 1/3 \) длины смоченной части. \[ l_{p1} = \frac{L_1}{3} = \frac{4.62}{3} = 1.54 \, \text{м} \] \[ l_{p2} = \frac{L_2}{3} = \frac{1.15}{3} = 0.38 \, \text{м} \] 4. Составим уравнения моментов сил относительно нижней опоры для нахождения \( R_{верх} \). Расстояние между опорами по щиту \( L = L_1 + a \). Однако, обычно щит опирается краями. Примем, что нижняя опора в точке \( L=0 \), а верхняя на расстоянии \( L_{оп} = L_1 \). Сумма моментов относительно нижней опоры: \[ R_{верх} \cdot L_1 - P_1 \cdot l_{p1} + P_2 \cdot l_{p2} = 0 \] \[ R_{верх} \cdot 4.62 = 271933 \cdot 1.54 - 16922 \cdot 0.38 \] \[ R_{верх} \cdot 4.62 = 418777 - 6430 = 412347 \] \[ R_{верх} = \frac{412347}{4.62} \approx 89253 \, \text{Н} \] 5. Найдем нижнюю реакцию из уравнения суммы сил на ось, перпендикулярную щиту: \[ R_{ниж} + R_{верх} - P_1 + P_2 = 0 \] \[ R_{ниж} = P_1 - P_2 - R_{верх} = 255011 - 89253 = 165758 \, \text{Н} \] Ответ: Реакция верхнего бруса \( R_{верх} \approx 89.25 \, \text{кН} \). Реакция нижнего бруса \( R_{ниж} \approx 165.76 \, \text{кН} \).