Решение задачи Г-10: Расчет гидростатических параметров затвора

Задача Г-10 Дано: \( h_1 = D \) (глубина слева) \( h_2 = D/2 \) (глубина справа) \( b = 1 \, \text{м} \) (ширина затвора) \( P_в = 4.5 \, \text{т} = 4500 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 44145 \, \text{Н} \) (вертикальная составляющая силы) \( \rho = 1000 \, \text{кг/м}^3 \) \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) Найти: 1) \( D \) — диаметр затвора. 2) \( P \) — полную силу гидростатического давления. 3) \( M_A \) — момент силы относительно точки А. Решение: 1. Найдем диаметр \( D \). Вертикальная составляющая силы давления \( P_в \) равна весу жидкости в объеме тела давления. Для цилиндрического затвора это сумма сил слева и справа. Слева (на полуцилиндр): \( P_{в1} = \rho g b \cdot \frac{\pi R^2}{2} \). Справа (на четверть цилиндра, так как \( h_2 = R \)): \( P_{в2} = -\rho g b \cdot (R^2 - \frac{\pi R^2}{4}) \). Результирующая вертикальная сила: \[ P_в = \rho g b R^2 \left( \frac{\pi}{2} - (1 - \frac{\pi}{4}) \right) = \rho g b R^2 \left( \frac{3\pi}{4} - 1 \right) \] Подставим значения (\( R = D/2 \)): \[ 44145 = 1000 \cdot 9.81 \cdot 1 \cdot \frac{D^2}{4} \cdot ( \frac{3 \cdot 3.14}{4} - 1 ) \] \[ 44145 = 2452.5 \cdot D^2 \cdot (2.355 - 1) \] \[ 44145 = 3323.1 \cdot D^2 \implies D^2 \approx 13.28 \implies D \approx 3.64 \, \text{м} \] 2. Найдем горизонтальную составляющую \( P_г \). Горизонтальная сила — это разность сил давления на плоские проекции: \[ P_г = P_{г1} - P_{г2} = \rho g b \frac{h_1^2}{2} - \rho g b \frac{h_2^2}{2} = \rho g b \frac{D^2 - (D/2)^2}{2} = \rho g b \frac{3D^2}{8} \] \[ P_г = 1000 \cdot 9.81 \cdot 1 \cdot \frac{3 \cdot 13.28}{8} \approx 48854 \, \text{Н} \] Полная сила \( P \): \[ P = \sqrt{P_г^2 + P_в^2} = \sqrt{48854^2 + 44145^2} \approx 65840 \, \text{Н} \approx 65.8 \, \text{кН} \] 3. Момент силы относительно точки А. Особенность цилиндрических поверхностей в том, что элементарные силы давления всегда направлены по радиусу к центру цилиндра (точка А). Следовательно, линия действия равнодействующей силы \( P \) проходит через геометрический центр цилиндра (ось А). Плечо силы относительно точки А равно нулю. \[ M_A = 0 \] Ответ: 1) Диаметр затвора \( D \approx 3.64 \, \text{м} \). 2) Полная сила давления \( P \approx 65.8 \, \text{кН} \). 3) Момент относительно точки А \( M_A = 0 \).