Решение задач 13-19: Неравенства и прогрессии

Ниже представлены решения задач с 13 по 19, оформленные для записи в тетрадь. Задание 13. Решим систему неравенств: \[ \begin{cases} x + 3 \geqslant -2 \\ x + 1,1 \geqslant 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \geqslant -2 - 3 \\ x \geqslant -1,1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \geqslant -5 \\ x \geqslant -1,1 \end{cases} \] Так как \( -1,1 > -5 \), то общим решением системы является \( x \geqslant -1,1 \). На рисунке это соответствует лучу, идущему вправо от точки \( -1,1 \) (или \( -\frac{11}{10} \)). Ответ: 2. Задание 14. Дано: \( S_n = 150 \), \( a_1 + a_n = 75 \). Найти \( n \). Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] Подставим известные значения: \[ 150 = \frac{75}{2} \cdot n \] \[ 150 = 37,5 \cdot n \] \[ n = \frac{150}{37,5} = 4 \] Ответ: 4. Задание 15. Пусть \( AB = a \), тогда по условию \( AC = 2a \). В параллелограмме диагонали точкой пересечения \( O \) делятся пополам, значит \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = a \). Так как \( AB = CD \) (противоположные стороны), то \( CD = a \). Рассмотрим треугольник \( COD \): \( OC = a \) и \( CD = a \). Следовательно, треугольник \( COD \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle ODC = \angle DOC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ \angle DOC = \frac{180^\circ - \angle OCD}{2} = \frac{180^\circ - 104^\circ}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ \] Угол между диагоналями \( 38^\circ \) является острым, значит он и есть меньший. Ответ: 38. Задание 16. Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда \( AD = a \). Точка \( O \) — середина \( CD \), значит \( OD = \frac{a}{2} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADO \). По теореме Пифагора: \[ AO^2 = AD^2 + OD^2 \] Радиус \( AO = 5 \). \[ 5^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ 25 = a^2 + \frac{a^2}{4} \] \[ 25 = \frac{5a^2}{4} \] \[ a^2 = \frac{25 \cdot 4}{5} = 20 \] Площадь квадрата \( S = a^2 \). Следовательно, \( S = 20 \). Ответ: 20. Задание 17. Средняя линия трапеции делится диагональю на два отрезка. Каждый из этих отрезков является средней линией одного из двух треугольников, на которые диагональ делит трапецию. Длина такого отрезка равна половине основания, которому он параллелен. 1) \( \frac{1}{2} = 0,5 \) 2) \( \frac{16}{2} = 8 \) Больший из отрезков равен 8. Ответ: 8. Задание 18. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S = a \cdot h \), где \( a \) — основание, \( h \) — высота. По рисунку: основание \( a = 4 \) клетки, высота \( h = 3 \) клетки. \[ S = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: 12. Задание 19. 1) Верно. По неравенству треугольника любая сторона меньше суммы двух других. 2) Неверно. В тупоугольном треугольнике только один угол тупой, остальные два — острые. 3) Верно. Это определение свойства средней линии трапеции. Ответ: 13.