Решение задачи: Сокращение дроби

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задание 20. Сократите дробь: \[ \frac{18^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} \] Решение: Разложим число 18 на простые множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \). Тогда числитель примет вид: \[ 18^{n+3} = (2 \cdot 3^2)^{n+3} = 2^{n+3} \cdot (3^2)^{n+3} = 2^{n+3} \cdot 3^{2n+6} \] Подставим это в исходную дробь: \[ \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} \] При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: \[ 2^{(n+3)-(n-2)} \cdot 3^{(2n+6)-(2n+5)} = 2^{n+3-n+2} \cdot 3^{2n+6-2n-5} = 2^5 \cdot 3^1 \] Вычислим значение: \[ 32 \cdot 3 = 96 \] Ответ: 96. Задание 21. Пусть \( m_1 \) — масса первого раствора, \( m_2 \) — масса второго раствора. Масса кислоты в первом растворе: \( 0,2m_1 \). Масса кислоты во втором растворе: \( 0,5m_2 \). Масса полученного раствора: \( m_1 + m_2 \). Масса кислоты в полученном растворе: \( 0,3(m_1 + m_2) \). Составим уравнение по массе кислоты: \[ 0,2m_1 + 0,5m_2 = 0,3(m_1 + m_2) \] \[ 0,2m_1 + 0,5m_2 = 0,3m_1 + 0,3m_2 \] Перенесем слагаемые с \( m_1 \) в одну сторону, а с \( m_2 \) в другую: \[ 0,5m_2 - 0,3m_2 = 0,3m_1 - 0,2m_1 \] \[ 0,2m_2 = 0,1m_1 \] Найдем отношение \( m_1 \) к \( m_2 \): \[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0,2}{0,1} = \frac{2}{1} \] Ответ: 2 : 1. Задание 23. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 20^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \). \( BH \) — высота, \( BD \) — биссектриса. Найти: \( \angle HBD \). Решение: 1) Найдем угол \( B \) треугольника \( ABC \): \[ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (20^\circ + 60^\circ) = 100^\circ \] 2) Так как \( BD \) — биссектриса, то: \[ \angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \] 3) Рассмотрим прямоугольный \( \triangle BHC \) (\( \angle BHC = 90^\circ \)): \[ \angle HBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] 4) Угол \( \angle HBD \) найдем как разность углов: \[ \angle HBD = \angle CBD - \angle HBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ \] Ответ: 20 градусов. Задание 25. Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза \( c = 12 \), площадь \( S = 18 \). Найти: острые углы. Решение: Пусть \( a \) и \( b \) — катеты, \( \alpha \) — острый угол. Тогда \( a = c \cdot \sin \alpha \), \( b = c \cdot \cos \alpha \). Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha \] Используя формулу синуса двойного угла \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), получим: \[ S = \frac{1}{4} c^2 \sin 2\alpha \] Подставим известные значения: \[ 18 = \frac{1}{4} \cdot 12^2 \cdot \sin 2\alpha \] \[ 18 = \frac{144}{4} \cdot \sin 2\alpha \] \[ 18 = 36 \cdot \sin 2\alpha \] \[ \sin 2\alpha = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \] Следовательно: \[ 2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ \] Второй острый угол: \[ 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \] Ответ: 15; 75.