Задача 15
Медиана равностороннего треугольника равна \(9\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.
Решение:
1. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.
2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\).
3. Медиана (высота) в равностороннем треугольнике делит его на два прямоугольных треугольника.
4. В таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(a\), один катет равен \(a/2\) (половина стороны), а другой катет - это медиана (высота) \(h\).
5. По теореме Пифагора:
\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2\] \[a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2\]6. Выразим \(h^2\):
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\] \[h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}\] \[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]7. Извлечём квадратный корень, чтобы найти \(h\):
\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\] \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]8. По условию задачи, медиана \(h = 9\sqrt{3}\).
9. Приравняем выражения для \(h\):
\[\frac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\]10. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\) (так как \(\sqrt{3} \neq 0\)):
\[\frac{a}{2} = 9\]11. Умножим обе части на 2, чтобы найти \(a\):
\[a = 9 \cdot 2\] \[a = 18\]Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 18.
Ответ: 18
Задача 16
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности.
2. В данном случае, сторона AB является диаметром описанной окружности.
3. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (равен 90°).
4. Угол ACB опирается на диаметр AB, следовательно, угол ACB = 90°.
5. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
6. В треугольнике ABC известны два угла: угол BAC = 30° и угол ACB = 90°.
7. Найдём третий угол ABC:
\[\text{Угол ABC} = 180^\circ - \text{Угол BAC} - \text{Угол ACB}\] \[\text{Угол ABC} = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ\] \[\text{Угол ABC} = 180^\circ - 120^\circ\] \[\text{Угол ABC} = 60^\circ\]Таким образом, угол ABC равен 60°.
Ответ: 60
Задача 17
Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение:
1. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
2. Пусть сторона ромба равна \(a\).
3. Периметр ромба \(P = 4a\).
4. По условию, периметр \(P = 36\).
5. Найдём сторону ромба:
\[4a = 36\] \[a = \frac{36}{4}\] \[a = 9\]6. Площадь ромба можно найти по формуле: \(S = a^2 \sin(\alpha)\), где \(a\) - сторона ромба, а \(\alpha\) - один из его углов.
7. По условию, один из углов ромба \(\alpha = 30^\circ\).
8. Подставим значения \(a = 9\) и \(\alpha = 30^\circ\) в формулу площади:
\[S = 9^2 \cdot \sin(30^\circ)\]9. Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\).
10. Вычислим площадь:
\[S = 81 \cdot \frac{1}{2}\] \[S = 40,5\]Таким образом, площадь ромба равна 40,5.
Ответ: 40,5
Задача 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение:
1. Для нахождения длины отрезка AB на клетчатой бумаге можно использовать теорему Пифагора.
2. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок AB.
3. Опустим перпендикуляр из точки A на горизонтальную линию, проходящую через точку B. Или из точки B на вертикальную линию, проходящую через точку A. Или построим прямоугольный треугольник, используя координаты точек.
4. Определим координаты точек A и B, если начало координат (0,0) находится, например, в левом нижнем углу видимой части сетки.
Пусть точка A имеет координаты \((x_A, y_A)\) и точка B имеет координаты \((x_B, y_B)\).
По чертежу: Точка A находится на 2 клетки вправо и 4 клетки вверх от некоторой условной точки отсчета. Точка B находится на 5 клеток вправо и 1 клетку вверх от той же условной точки отсчета.
Пусть A = (2, 4)
Пусть B = (5, 1)
5. Найдём длины катетов прямоугольного треугольника:
Горизонтальный катет (разность по x): \(\Delta x = |x_B - x_A| = |5 - 2| = 3\).
Вертикальный катет (разность по y): \(\Delta y = |y_B - y_A| = |1 - 4| = |-3| = 3\).
6. Применим теорему Пифагора для нахождения длины отрезка AB (гипотенузы):
\[AB^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\] \[AB^2 = 3^2 + 3^2\] \[AB^2 = 9 + 9\] \[AB^2 = 18\]7. Извлечём квадратный корень:
\[AB = \sqrt{18}\] \[AB = \sqrt{9 \cdot 2}\] \[AB = 3\sqrt{2}\]Если требуется десятичная дробь, то \(\sqrt{2} \approx 1,414\).
\[AB \approx 3 \cdot 1,414 = 4,242\]Обычно в таких задачах ответ ожидается в виде корня, если он не извлекается нацело, или в виде десятичной дроби, если это указано. В ОГЭ часто просят округлить или дать точное значение. Если не указано, то \(3\sqrt{2}\) - это точный ответ.
Однако, в формате ОГЭ ответы обычно целые числа или конечные десятичные дроби. Возможно, я неправильно определил координаты или есть другой способ. Давайте перепроверим.
Пересчитаем клетки внимательнее. Пусть самая левая нижняя точка сетки, которую мы видим, будет (0,0). Тогда точка A находится на (2, 4). Точка B находится на (5, 1).
Разница по x: \(5 - 2 = 3\).
Разница по y: \(4 - 1 = 3\).
Длина отрезка \(AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
Если ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью, то, возможно, я ошибся в определении координат или в задании есть подвох. Но по чертежу, это именно так. Если бы, например, точки были A(1,4) и B(4,0), то \(\Delta x = 3\), \(\Delta y = 4\), и \(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\). Но на чертеже это не так.
Давайте ещё раз внимательно посмотрим на чертеж. Точка A: отсчитываем от левого края 2 клетки вправо, от нижнего края 4 клетки вверх. Точка B: отсчитываем от левого края 5 клеток вправо, от нижнего края 1 клетку вверх.
Всё верно. \(\Delta x = 3\), \(\Delta y = 3\).
Если ответ должен быть в виде десятичной дроби, то \(3\sqrt{2} \approx 4.24\). В ОГЭ обычно не дают ответы с иррациональными числами, если это не указано. Возможно, в задании подразумевается, что ответ нужно округлить до целого, но это не указано. Если бы это был экзамен, я бы оставил \(3\sqrt{2}\) или перепроверил, нет ли ошибки в моём понимании чертежа или в самом задании.
Предположим, что ответ должен быть в виде десятичной дроби, округленной до сотых, если не указано иное.
Ответ: \(3\sqrt{2}\) (или 4.24, если требуется округление)
(Примечание: В стандартных задачах ОГЭ по геометрии на клетчатой бумаге, если отрезок не горизонтальный или вертикальный, его длина обычно получается целым числом, если катеты прямоугольного треугольника, образованного отрезком, являются пифагоровой тройкой (например, 3, 4, 5). В данном случае катеты 3 и 3, что даёт \(\sqrt{18}\). Это может указывать на то, что ответ ожидается в виде \(3\sqrt{2}\) или что в задании есть неточность, если ожидается целое число.)
Если бы ответ был целым числом, то, например, если бы A была (1,4) и B была (4,0), то \(\Delta x = 3\), \(\Delta y = 4\), \(AB = 5\). Но это не соответствует чертежу.
Давайте ещё раз проверим, может быть, я неправильно посчитал клетки. От точки A до точки B: По горизонтали: 3 клетки вправо. По вертикали: 3 клетки вниз. Значит, катеты 3 и 3. Длина \(AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
Если в бланке ответов нужно указать число, то, скорее всего, подразумевается округление. Но без указания степени округления, это проблема. Если это задача из первой части ОГЭ, то ответ должен быть конечной десятичной дробью или целым числом. В таком случае, если \(3\sqrt{2}\) не подходит, то, возможно, я неправильно интерпретировал чертеж или в задании есть ошибка. Однако, исходя из того, что я вижу, \(3\sqrt{2}\) - это точный ответ.
Если бы ответ был, например, 4, то это было бы \(\sqrt{16}\). Если 5, то \(\sqrt{25}\). \(\sqrt{18}\) находится между 4 и 5.
В случае, если ответ должен быть целым числом, это может быть задача, где нужно найти не длину отрезка AB, а что-то другое, но формулировка "Найдите длину отрезка AB" однозначна.
Я оставлю ответ \(3\sqrt{2}\), как точное математическое значение. Если в контексте ОГЭ требуется округление, то это должно быть указано.
Ответ: \(3\sqrt{2}\)